В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания AB = 6, а боковое ребро AA₁ = 5. На ребре CC₁ взята точка K так, что CK : KC₁, а на ребре A₁C₁ взята точка M так, что A₁M : MC₁ = 1 : 2.

Докажите, что плоскость BKM делит ребро A₁B₁ в отношении 2 : 5, считая от точки A₁.

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания AB = 6, а боковое ребро AA₁ = 5. На ребре CC₁ взята точка K так, что CK : KC₁, а на ребре A₁C₁ взята точка M так, что A₁M : MC₁ = 1 : 2.

Найдите площадь сечения призмы плокостью BKM.

Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁. Плоскость α проходит через через точки B, C₁ и D₁.

Найдите площадь сечения, если известно,

что AB = BB₁ = 10.

Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, сторона основания которой равна α = 4, боковое ребро b = 7 , SO – высота. Через точку L(SL : LO = 3 : 1) проведена плоскость α параллельно грани SAB.

Доказать, что плоскость α пересекает ребро SD в точке K, где SK : KD = 3 : 5.

Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, сторона основания которой равна α = 4, боковое ребро b = 7 , SO – высота.

Через точку L(SL : LO = 3 : 1) проведена плоскость α параллельно грани SAB.

Найти площадь сечения пирамиды плоскостью α.

Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ является прямоугольный треугольник ABC, причем ∠C = 90°. Диагонали боковых граней AA₁B₁B и BB₁C₁C равны 26 и 10 соответственно, AB = 25.

Докажите, что ΔBA₁C₁ — прямоугольный.

Основанием прямой треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ является прямоугольный треугольник ABC, причем ∠C = 90°. Диагонали боковых граней AA₁B₁B и BB₁C₁C равны 26 и 10 соответственно, AB = 25.

Найдите объем пирамиды AA₁C₁B.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁, в который вписан шар с центром в точке O. На диагонали A₁B отмечена точка M так, что A₁M : MB = 1 : 3.

Точка K — середина диагонали D₁C.

Докажите, что центр шара принадлежит плоскости KMB.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁, в который вписан шар с центром в точке O. На диагонали A₁B отмечена

точка M так, что A₁M : MB = 1 : 3. Точка K — середина диагонали D₁C.

Из точек M и K опустили перпендикуляры MM₁ и KK₁ на плоскость ABC. Найдите объём пирамиды MKK₁M₁B, если ребро куба равно 8.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC на медиане основания CE взята точка K так, что CK : KE = 8 : 1.

Через точку K проведена плоскость α, которая перпендикулярна прямой CE и пересекает боковые ребра SA и SB в точках M и N соответственно.

Докажите, что MN : AB = 2 : 3.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC на медиане основания CE взята точка K так, что CK : KE = 8 : 1.

Через точку K проведена плоскость α, которая перпендикулярна прямой CE и пересекает боковые ребра SA и SB в точках M и N соответственно.

Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка С, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью α, если известно,

что AB = 9√3, SA = 18

Дана пирамида SABC с вершиной S, высота которой падает в точку пересечения биссектрис основания, являющегося равнобедренным треугольником

с AC = BC. Известно, что радиус вписанной в треугольник ABC окружности

равен 2 - √3, AB = 2, AS = 2√2.

Найдите объем пирамиды.

В треугольной пирамиде DABC двугранные углы при ребрах AD и BC равны.

Известно также, что AB = BD = DC = AC = √15

Докажите, что AD = BC

В треугольной пирамиде DABC двугранные углы при ребрах AD и BC равны.

Известно также, что AB = BD = DC = AC = √15

Найдите объем пирамиды, если двугранные углы при ребрах AD и BC равны 60°