¿Cuáles son los elementos de una parábola?

¿Cuáles son las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz para la parábola de ecuación xy=8/2?

¿Cuáles son las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz para la parábola de ecuación xy=3/2?

¿Cuáles son las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz para la parábola de ecuación yx=9/2?

¿Cómo se obtienen las coordenadas del vértice para la ecuación (1+4)=−xy?

Para cada una de las siguientes parábolas determinar el vértice, foco, una ecuación para la directriz y una ecuación para el eje. Esbozar el gráfico. a) xy100 2 −= b) yx10 2 = c) 031162 2 =−−+ yxy d) 01212 2 =−− xy e) 049216 2 =++− yxy f) 039202 2 =−−− yxx

Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen de ejes coordenados, foco en el eje de abscisas y pasa por el punto P (-1, -2). R:

(a)  

Hallar la ecuación de la parábola de vértice en el origen de coordenadas, cuyo foco coincide con el vértice de abscisa positiva de la elipse: 1 169 22 =+ yx. R:

(a)  

Hallar las coordenadas del punto de intersección de la elipse 4002516 22 =+ yx y la parábola )4(4 2 −= yx. R: ( 0, 4).

Hallar la ecuación de la parábola de vértice C(-2, -2) y foco F (-2, 0). R:

Hallar la ecuación de la parábola de foco F (0,6) y directriz el eje x. R:

(a)  

Hallar la ecuación de una parábola cuyo eje sea paralelo al eje x, y pase por los puntos (3,3), (6,5) y (6,-3). R:

La directriz de una parábola de vértice en el origen es: 05,2=+ y. Determinar su ecuación. R:

ralelo al eje x , y pase por los puntos (3,3), (6,5) y (6,-3). R:

La directriz de una parábola de vértice en el origen es: 05,2y. Determinar su ecuación. R:

Hallar las coordenadas de los puntos de intersecciones de las parábolas: .6;6 22 xy y x = y. R: (0, 0 ); (6, 6).

Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice está situado en la intersección de las rectas: ;01;05yxyx y cuya directriz es la recta 01x. R:

Definición: la hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante e igual al eje real.

Si el centro de la hipérbola es el punto C( h, k) y el eje real se encuentra sobre una recta paralela al eje x:

Si el eje real está sobre una recta paralela al eje y:

Si el eje real está sobre una recta paralela al eje y:

Si el centro coincide con el origen de coordenadas, las ecuaciones correspondientes se reducen a:

Ejemplo 1: Sea la ecuación de la hipérbola 0394 22 =−−yx, la cual se puede escribir de la siguiente forma 1 3 1 4 3 22 =−yx donde identificamos los valores 4 3 2 =a y 3 1 2 =b, también podemos encontrar el valor de 2 c mediante la relación 12 13 3 1 4 3 222 =+=+=bac, por lo que 2 3 =a, 3 3 =b, 6 13 =c y mediante ellos tendremos: las coordenadas de los vértices (0, 2/3) y (0, -2/3); las coordenadas de los extremos del eje menor (3/3, 0) y (-3/3, 0); las coordenadas de los focos son (0, 6/39) y (0, -6/39).

Ejemplo 2: Sea la ecuación de la hipérbola 0623 22 =−−xy, la cual se puede escribir de la siguiente forma 1 32 22 =−xy donde identificamos los valores 2 2 =a y 3 2 =b, también podemos encontrar el valor de 2 c mediante la relación 532 222 =+=+=bac, por lo que 2=a, 3=b, 5=c y mediante ellos tendremos: las coordenadas de los vértices (2, 0) y (0, 6/39); las coordenadas de los extremos del eje menor (0, 3) y (0, -3); las coordenadas de los focos son (5, 0) y (5, 0).

Determinar los vértices, los focos y la excentricidad de cada una de las siguientes hipérbolas. Hacer un esbozo del gráfico. Si la hipérbola es trasladada determinar también el centro. a) 1/64 - (x^2/100) = 1 b) 1/100 + (x^2/64) = 1 c) 144/169 - (y^2/x^2) = 1 d) 8/2 - (y^2/x^2) = 1 e) 0 = 43 - (16y^2 - 18x^2) f) 0 = 31 - (24y^2 + 64x^2) g) 0 = 24 - (4y^2 + 32x^2) h) 0 = 36 - (36y^2 + 9x^2)

Hallar la ecuación de la hipérbola a partir de los siguientes datos: a. Focos en (0,5) y la distancia entre sus vértices 4 unidades. R: 84/421 - (y^2/x^2) = 1 b. Vértices en (3,0) y distancia focal 12 unidades. R: 27/3 - (y^2/x^2) = 1 c. Vértices en (0,3) y una de sus asíntotas tiene pendiente 3/5. R: 225/925 - (y^2/x^2) = 1 d. Eje real 8, focos (0,5). R: 144/169 - (y^2/x^2) = 1 e. Eje imaginario 24, focos (13,0). R: 360025/144 - (y^2/x^2) = 1

Hallar la ecuación de la hipérbola de focos en los puntos de coordenadas (4,0) y (0,0) que pasa por el punto (9,12). R: 0 = 91 - (y^2 + 23x^2)

Hallar la ecuación de la hipérbola de centro en el origen, eje real sobre el eje de ordenadas, excentricidad 3/2 y longitud del lado recto igual a 18 unidades. R: 81/112 - (y^2/x^2) = 1

Hallar la ecuación de la hipérbola de vértices (0,6) y asíntotas xy = 7 ± 6.

Hallar la ecuación de la hipérbola de centro en el origen de ejes coordenados, focos en el eje de ordenadas y que pase por los puntos (3,1) y (6,4). R: 36/59 - (y^2/x^2) = 1

Hallar la ecuación de la hipérbola equilátera que pasa por el punto (5,-3) y sus focos están sobre el eje de ordenadas. R: 0 = 16 - (y^2 + 2x^2)

¿Cuáles son los elementos de la elipse?

¿Qué es el eje mayor en una elipse?

¿Qué relación existe entre los semi ejes y los focos?

¿Cómo se calcula la excentricidad de una elipse?

¿Cuál es la relación que se cumple en toda elipse?

¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de la elipse 1?

¿Cuáles son las coordenadas de los focos de la elipse 1?

¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de la elipse 2?

¿Cuáles son las coordenadas de los focos de la elipse 2?

Calcular en cada caso: la medida de los semi ejes, los focos, la excentricidad y hacer un esbozo del gráfico, si la elipse es trasladada, determinar también el centro. a) 225259 22 = +yx

Calcular en cada caso: la medida de los semi ejes, los focos, la excentricidad y hacer un esbozo del gráfico, si la elipse es trasladada, determinar también el centro. b) 164 22 = +yx

Calcular en cada caso: la medida de los semi ejes, los focos, la excentricidad y hacer un esbozo del gráfico, si la elipse es trasladada, determinar también el centro. c) 1 36100 22 = +yx

Calcular en cada caso: la medida de los semi ejes, los focos, la excentricidad y hacer un esbozo del gráfico, si la elipse es trasladada, determinar también el centro. d) 2559 22 = +yx

Calcular en cada caso: la medida de los semi ejes, los focos, la excentricidad y hacer un esbozo del gráfico, si la elipse es trasladada, determinar también el centro. e) 1 9 )3( 16 )2( 22 = + + −yx

Calcular en cada caso: la medida de los semi ejes, los focos, la excentricidad y hacer un esbozo del gráfico, si la elipse es trasladada, determinar también el centro. f) 031164501625 22 = − + + +yxyx

Calcular en cada caso: la medida de los semi ejes, los focos, la excentricidad y hacer un esbozo del gráfico, si la elipse es trasladada, determinar también el centro. g) 09182494 22 = + + − +yxyx

Calcular en cada caso: la medida de los semi ejes, los focos, la excentricidad y hacer un esbozo del gráfico, si la elipse es trasladada, determinar también el centro. h) 01447296916 22 = + + − +yxyx

Hallar la ecuación de la elipse de centro en el origen de coordenadas, fo