Площадь параллелограмма ABCD равна 24. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.

(a)  

Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен 65°. Найдите величину угла между высотой CH и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла C.

(a)  

Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.ь

(a)  

На координатной плоскости изображены векторы $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$ . Найдите скалярное произведение $$\vec{a} \cdot \vec{b}$$ .

(a)  

Даны векторы $$\vec{a}(2;0)$$ и $$\vec{b}(1;4)$$ . Найдите длину вектора $$\vec{a} + 3\vec{b}$$ .

(a)  

Даны векторы $$\vec{a}(5;4)$$ и $$\vec{b}(8;-9)$$ . Найдите скалярное произведение $$\vec{a} \cdot \vec{b}$$ .

(a)  

Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.

(a)  

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, A_1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1, у которого AB = 3, AD = 9, AA_1 = 4.

(a)  

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/3 высоты. Объём жидкости равен 4 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

(a)  

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна 9√2. Найдите радиус сферы.

(a)  

В группе туристов 50 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 5 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист В., входящий в состав группы, полетит первым рейсом вертолёта.

(a)  

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19 включительно.

(a)  

На конференцию приехали учёные из трёх стран: 3 из Дании, 4 из Венгрии и 3 из Болгарии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что седьмым окажется доклад учёного из Болгарии.

(a)  

Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,7. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

(a)  

В коробке 5 синих, 9 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер.

(a)  

При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что её масса окажется меньше 810 г, равна 0,95. Вероятность того, что масса буханки окажется больше 790 г, равна 0,84. Найдите вероятность того, что масса буханки окажется больше 790 г, но не менее 810 г.

(a)  

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0,18. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.

(a)  

Найдите корень уравнения $$\left( \frac{1}{3} \right)^{3-x} = 81$$ .

(a)  

Найдите корень уравнения $$\log_5 (5x + 47) = 3$$ .

(a)  

Решите уравнение $$\sqrt{2x + 3} = x$$ . Если корней окажется несколько, то в ответе запишите наименьший из них.

(a)  

Найдите значение выражения 3sin(13π/12) cos(13π/12).

(a)  

Найдите значение выражения lg32 / lg2.

(a)  

На рисунке изображён график y = f'(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (−12; 12). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−6; 11].

(a)  

На рисунке изображён график y = f'(x) — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено десять точек: x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7, x_8, x_9, x_10. Сколько из этих точек принадлежат промежуткам возрастания функции f(x)?

(a)  

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x_0.

(a)  

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью v_0 = 90 км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a = 16 км/ч^2. Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле $$s = v_0 t + \frac{a t^2}{2}$$ , где t — время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города до того, как за это время он удалился от города на 72 км. Ответ дайте в минутах.

(a)  

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $$f_0 = 295 \text{ Гц}$$ . Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $$f (в \text{ Гц})$$ больше первого: она зависит от скорости тепловоза $$v (в м/с)$$ и изменяется по закону $$f(v) = \frac{f_0}{1 - \frac{v}{c}} (\text{Гц})$$ , где $$c — \text{скорость звука (в м/с)}$$ . Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 $$\text{Гц}$$ . Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, $$c = 300 \text{ м/с}$$ .

(a)  

От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 323 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 2 часа после этого следом за ним со скоростью на 2 км/ч больше отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в минут В он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.

(a)  

Смешав 45%-й и 97%-й растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62%-й раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-го раствора той же кислоты, то получили бы 72%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 45%-го раствора использовали для получения смеси?

(a)  

Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 104 литра она заполняет на 5 минут дольше, чем вторая труба?

(a)  

На рисунке изображён график функции вида f(x) = $$\frac{k}{x}$$ . Найдите значение f(30).

(a)  

На рисунке изображены графики функций $$f(x) = ax^2 + bx + c$$ и $$g(x) = kx$$ , пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

(a)  

На рисунке изображён график функции вида $$f(x) = a^x$$ . Найдите значение f(5).

(a)  

Найдите точку максимума функции y = 9·ln(x-4) - 9x - 7.

(a)  

Найдите точку максимума функции y = $$\left(x+8\right)^3·e^{-x}$$ .

(a)  

Найдите точку минимума функции y = $$-\frac{x}{x^2+256}$$ .

(a)  

Найдите точку максимума функции y = x³ - 27x² + 11.

(a)