VECTORES #3

VECTORES #3

Prof. Rafa

Componentes de un vector determinado por dos puntos.

• Observe los puntos P y Q. (extremos del vector  $\overrightarrow{PQ}$ )

• Sea:  $\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PQ}\ \left(suma\ de\ vectores\right)$ 

• Despejando  $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}$  

• Luego las coordenadas de P son  $\left(p_1,\ p_2\right)$  y de Q son  $\left(q_1,\ q_2\right)$  

Componentes de un vector determinado por dos puntos.

• Luego: $\overrightarrow{PQ}=\left(q_1\overrightarrow{i}+q_2\overrightarrow{j}\right)-\left(p_1\overrightarrow{i}+p_2\overrightarrow{j}\right)$ 

• Entonces:  $\overrightarrow{PQ}=\left(q_1-p_1\right)\overrightarrow{i}+\left(q_2-p_2\right)\overrightarrow{j}$  

• En conclusión, para obtener las coordenadas de un vectore determinado por dos puntos, restamos las respectivas coordenadas del extremo son sus respectivas coordenadas del origen.

Multiple Choice

Para determinar las coordenadas de un vector dado un origen y un extremo, se debe realizar la operación punto final (extremo) menos punto de origen.

• Verdadero

• Falso

Operaciones con vectores expresados por sus componentes.

Multiplicación de un vector por un número real

• La componentes de

   $\overrightarrow{u}$   en la base  $B=\left\{\overrightarrow{i},\ \overrightarrow{j}\right\}\$  son (3, 1), pero ¿Qué componentes tendrá el vector  $2\overrightarrow{u}$  ?

• En general, si  $\overrightarrow{u}=\left(u_1,\ u_2\right)$  son las componentes de  $\overrightarrow{u}$   en una cierta base, las componentes  $k\cdot\overrightarrow{u}$   en esa misma base son:  $k\cdot\overrightarrow{u}=\left(k\cdot\overrightarrow{u_1},\ k\cdot\overrightarrow{u_2}\right)$   

• Si tenemos los vectores $\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v},\ \overrightarrow{w}$  podemos expresar cualquiera de ellos como combinación lineal de los demás, de la siguiente forma:  $\overrightarrow{u}=k_1\cdot\overrightarrow{v}+k_2\cdot\overrightarrow{w}$  

Multiple Choice

Si  $\overrightarrow{u}=\left(2,\ -5\right)$  ¿Cuál es el resultado de la operación  $5\cdot\overrightarrow{u}$   ?

•  $\left(1,\ -10\right)$  

•  $\left(10,\ -25\right)$  

•  $(-25,\ 10)$  

Suma y resta de vectores

  

• Dados los vectores  $\overrightarrow{u}\ y\ \overrightarrow{v}$   en la base  $B=\left\{\overrightarrow{i},\ \overrightarrow{j}\right\}$   realizamos los siguiente:

• Para la suma:  $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left(u_1+v_1,\ u_2+v_2\right)$  

• Para la resta:  $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\left(u_1-v_1,\ u_2-v_2\right)$  

Producto escalar de dos vectores.

• Se define de la siguiente manera:  $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot\left|\overrightarrow{v}\right|\cdot\cos\left(\alpha\right)$   donde  $\alpha$  es el ángulo menor que forman los dos vectores.

• Para una base ortonormal consideremos los vectores  $\overrightarrow{u}\ y\ \overrightarrow{v}$    $B=\left\{\overrightarrow{i},\ \overrightarrow{j}\right\}\$  ; es decir  $\overrightarrow{u}=u_1\overrightarrow{i}+u_2\overrightarrow{j\ }\ \ y\ \ \overrightarrow{v}=v_1\overrightarrow{i}+v_2\overrightarrow{j}$ 

• Como B es ortonormal,  $\overrightarrow{i}\cdot\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{i}=0$  y  $\left|\overrightarrow{i}\right|=\left|\overrightarrow{j}\right|=1$  ; es decir,  $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=u_1v_1+u_2v_2$  

Módulo y ángulo entre dos vectores.

• Sean los vectores: $\overrightarrow{u}=\left(u_1,\ u_2\right)\ \ y\ \ \ \overrightarrow{v}=\left(v_1,\ v_2\right)$  

• Módulo de un vector:  $\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$  

• Ángulo entre vectores:  $\cos\left(\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}\right)=\frac{u_1v_1+u_2v_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot\sqrt{v_1^2+v_2^2}}$  

•  $\alpha=arc\ \cos\left(\frac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot\left|\overrightarrow{v}\right|}\right)$  

Multiple Choice

El producto escalar entre dos vectores es cero cuando estos so ortogonales.

• verdadero

• falso