Reciproque du théorème de Pythagore

Reciproque du théorème de Pythagore

et notion de réciproque

Notion de réciproque

En mathématiques, lorsque on parle de réciproque d'une propriété ou théorème, on parle d'une implication qui échange la premise (début) et la conclusion

Exemple

Propriété:

Si deux droites sont parallèles, alors les deux droites ne se croisent jamais

Réciproque:

Si deux droites ne se croisent jamais alors elles sont parallèles

Dans ce cas la propriété et la réciproque sont vraies

ATTENTION

Une propriété est toujours vraie dans les conditions spécifiées

Mais la réciproque d'une propriété n'est pas toujours vraie!!!

Multiple Choice

Dire si la réciproque de la propriété suivante est vraie:

"Si un polygone est un carré alors le polygone a 4 côtés"

• Vrai

• Faux

Explication

Propriété:

Si un polygone est un carré alors ce polygone à 4 côtés

Réciproque:

si un polygone à 4 côtés, alors ce polygone est un carré

Ceci est évidement faux. En effet, les losanges et les rectangles ne sont pas des carrés mais possèdent 4 côtés.

Multiple Choice

Dire si la réciproque de la propriété suivante est vraie ou fausse:

"Si a=2 et b=3 alors a+b=5"

• vrai

• faux

Explication

Propriété:

Si a=2 et b =3 alors a+b=5

Réciproque:

Si a+b=5 alors a=2 et b=3

Ceci est évidement faux, il existe une infinité de combinaisons telles que a+b=5 (par exemple a=1 et b=4)

Multiple Choice

Dire si la réciproque de la propriété suivante est vraie ou fausse:

"Si un triangle est équilatéral alors chacun des angles du triangle fait 60°"

• Vrai

• Faux

Explication

Propriété:

Si un triangle est équilatéral alors chacun des angles du triangle fait 60°

Réciproque:

Si chacun des angles du triangle fait 60°, alors le triangle est équilatéral

Ceci est vrai (vous pouvez le ressentir intuitivement) mais la démonstration formelle n'est pas encore accessible a votre niveau

RAPPEL

Théorème de Pythagore:

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypothénuse est égal a la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit

Reformulation plus claire

Si le triangle est rectangle

Alors le carré de la longueur de l'hypothénuse est égal à la somme des carrés des longueurs de côtés de l'angle droit

Réciproque du théorème de Pythagore

Si dans un triangle le carré de la longueur de l'hypothénuse (côté le plus long) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés

Alors le triangle est rectangle

Comparaison de l'usage es deux théorèmes

Notion importante

• Le théorème de Pythagore sert a déterminer les longueurs dans un triangle rectangle

• La réciproque du théorème sert a verifier si un triangle est rectangle grâce aux longueurs

Multiple Choice

Exemple:

Vérifier si le triangle ABC tel que

AB=17cm

AC=15cm

et BC=8cm

est un triangle rectangle (calculatrice recommandée)

• Oui il est rectangle

• Non il n'est pas rectangle

Explication

Côté le plus long AB= 17cm

17²=17x17=289

Somme des carré des deux autres côtés

15²+6²=15x15+6x6=225+64=289

On à une égalité donc d'après la réciproque de pythagore, ABC est rectangle

Multiple Choice

Même question:

Vérifier si le triangle ABC avec

AB=6cm

AC=7cm

BC=9cm

est rectangle

• Oui il est rectangle

• Non il n'est pas rectangle

Explication

côté le plus long BC

BC²=9²=9x9=81

Somme des carrés des deux autres

AC²+AB²=7²+6²=7x7+6x6=49+36=87

Pas d'égalité donc d'après la réciproque de Pythagore, ABC n'est pas rectangle