Matemática Financeira

Matemática Financeira

Vagner Oliveira

​Matemática Financeira - introdução

​Fundamentalmente, a Matemática Financeira estuda os procedimentos utilizados em pagamentos de empréstimos, bem como os métodos de análise de investimentos em geral. Quando uma pessoa empresta a outra um valor monetário durante um certo tempo, essa quantia é chamada de capital (ou principal) e é indicada por C. O valor que o emprestador cobra pelo uso do dinheiro, ou o valor pago pelo tomador do empréstimo, é chamado de juros e indicado por J.

​Taxa de Juros (i)

​A taxa de juros, indicada por i (do inglês interest, que significa juros), é expressa como porcentagem do capital. Ela representa os juros numa certa unidade de tempo, normalmente indicada da seguinte forma: ao dia (a.d.), ao mês (a.m.), ao ano (a.a.), etc. Assim, por exemplo, se o capital emprestado for R$ 8 000,00 e a taxa, 1,5% ao mês, os juros pagos no mês serão iguais a 1,5% sobre R$ 8 000,00, que equivale a 0,015 · (8 000) e, portanto, igual a R$ 120,00. De modo geral, os juros no período são iguais ao produto do capital pela taxa, isto é:

​

​J = C . i (juros no período da taxa)

​Montante

​Se o pagamento do empréstimo for feito numa única parcela, ao final do prazo do empréstimo, o tomador pagará a soma do capital emprestado com o juro, que chamaremos de montante e indicaremos por M. No caso do empréstimo de R$ 8 000,00, durante 1 mês, à taxa de 1,5% ao mês, o montante será igual a R$ 8 120,00. De modo geral, teremos:

​

​M = C + J

​Exercício Resolvido

​Um capital de R$ 12000,00 foi aplicado durante 3 meses à taxa de 5% a.t. (ao trimestre).

Vamos calcular os juros e o montante recebidos após 3 meses. Em reais, após 3 meses, os juros recebidos foram:

​

J = C . i ==> J = 12000 · (0,05) = 600

​

Assim, o montante recebido, em reais, foi:

​

M = C + J ==> M = 12000 + 600 = 12600

​SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

​​De acordo com esse regime, os juros gerados em cada período são sempre os mesmos e são dados pelo produto do capital pela taxa. Os juros são pagos somente no final da aplicação. Exemplo: Um capital de R$ 5000,00 é aplicado a juros simples durante 4 anos à taxa de 20% a.a.

​

Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de aplicação.

Os juros gerados no 1º ano são 5000 . (0,20) = 1000.

Os juros gerados no 2º ano são 5000 . (0,20) = 1000.

Os juros gerados no 3º ano são 5000 . (0,20) = 1000.

Os juros gerados no 4º ano são 5000 . (0,20) = 1000.

​No cálculo dos juros de cada ano, a taxa incide apenas sobre o capital inicial. Assim, o montante após 4 anos vale R$ 9000,00.

​SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

Nesse regime, os juros do 1º período correspondem ao produto do capital pela taxa; esses juros são adicionados ao capital, gerando o montante M₁ após 1 período.

​

​Os juros do 2º período são obtidos multiplicando-se a taxa pelo montante M₁ ; esses juros são adicionados a M₁ , gerando o montante M₂ após 2 períodos.

Os juros do 3º período são obtidos multiplicando-se a taxa pelo montante M₂ ; esses juros são adicionados a M₂ , gerando o montante M₃ após 3 períodos.

Dessa forma, os juros em cada período são iguais ao montante do início do período multiplicado pela taxa, e esses juros são adicionados ao montante do início do período, gerando o montante do final do período.

​​SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

Exemplo:

Um capital de R$ 5 000,00 é aplicado a juros compostos durante 4 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros e o montante para cada período.

​

Os juros do 1º ano são 5 000 . (0,20) = 1 000, e o montante após 1 ano é

M₁ = 6 000.

Os juros do 2º ano são 6 000 . (0,20) = 1 200, e o montante após 2 anos é

M₂ = 7 200.

Os juros do 3º ano são 7 200 . (0,20) = 1 440, e o montante após 3 anos é

M₃ = 8 640.

Os juros do 4º ano são 8 640 . (0,20) = 1 728, e o montante após 4 anos é

M₄ = 10 368.​

REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO

Se um capital for aplicado a uma certa taxa por período, por vários intervalos ou períodos de tempo, o valor do montante pode ser calculado segundo duas convenções de cálculo, chamadas de regimes de capitalização: capitalização simples (ou juros simples) e capitalização composta (ou juros compostos).​

Juros simples​

Consideremos um capital C aplicado a juros simples, a uma taxa i por período e durante n períodos de tempo. Os juros no 1º período são iguais a C . i e, de acordo com a definição de capitalização simples, em cada um dos períodos os juros são iguais a C . i, conforme mostra a figura.​

​Exercício Resolvido

1º) Um capital de R$ 8000,00 é aplicado a juros simples, à taxa de 2% a.m., durante 5 meses. Vamos calcular os juros e o montante da aplicação.

Os juros da aplicação, em reais, são:

​

J = 8000 · (0,02) · 5 = 800

​

O montante da aplicação, em reais, é:

​

M = 8000 + 800 = 8800

​Juros compostos

Consideremos um capital C aplicado a juros compostos, a uma taxa i por período e durante n períodos de tempo. Vamos calcular o montante dessa aplicação.

Temos:

• Montante após 1 período:

M₁ = C + C · i = C(1 + i)

• Montante após 2 períodos:

M₂ = M₁ + M₁ · i = M₁ (1 + i) = C(1 + i)(1 + i) = C(1 + i)²

• Montante após 3 períodos:

M₃ = M₂ + M₂ · i = M₂ (1 + i) = C(1 + i)² (1 + i) = C(1 + i)³ ...

• Montante após n períodos:

M_n = M_n – 1 + M_n – 1 · i = M_n – 1(1 + i) = C(1 + i)ⁿ – 1 · (1 + i) = C(1 + i)ⁿ

​Em resumo: M_n = C(1 + i)ⁿ ---->

​

​Exercício Resolvido

​Um capital de R$ 5000,00 é aplicado a juros compostos, à taxa de 2% a.m.

Qual o montante se os prazos de aplicação forem:

a) 5 meses b) 2 anos Seja:

​

a) C = 5 000, i = 2% a.m. e n = 5 meses, temos:

​

M = 5000(1 + 0,02)⁵ = 5000(1,02)⁵ = 5520,40

​

b) Seja C = 5000, i = 2% a.m. e n = 24 meses (pois n deve ser expresso em meses), temos:

M = 5000(1 + 0,02)²⁴ = 5000(1,02)²⁴ = 8042,19

Multiple Choice

Renata acabou se esquecendo de pagar uma das contas de energia da sua residência. Como de costume, ela precisou pagar juros e multa pelo atraso de dois meses. Sabendo que o valor da conta era de R$ 160,00 antes do atraso e que a multa é de 1%, e os juros, de 3% ao mês, o valor pago a mais na conta devido ao atraso foi de:

• R$ 16,00.

• R$ 1,60.

• R$ 9,60.

• R$ 11,20.

• R$ 170,20.

Multiple Choice

Na aquisição de um novo imóvel, Rodrigo decidiu construir armários planejados. O valor dos armários planejados para toda a casa, mais o serviço do arquiteto, deu um total de R$ 65.000,00, para pagamento à vista. Caso Rodrigo decida parcelar, o valor pago terá juros simples de 1% a.m. Sabendo que ele pagou após 1 ano, o valor pago de juros foi de:

• R$ 7.800,00.

• R$ 6.600,00.

• R$ 8.200,00.

• R$ 5.900,00.

• R$ 9.000,00.

Multiple Choice

Um investidor aplicou um capital a juros simples com taxa de 3% ao mês, durante sete meses, gerando R$ 1.785,00 de juros. O valor do capital investido é igual a:

• R$ 9750,00.

• R$ 9200,00.

• R$ 9000,00.

• R$ 8750,00.

• R$ 8500,00.

Multiple Choice

Um capital de R$ 2500 foi investido a juros compostos durante 36 meses, com a taxa de juros de 12% a.a. Os juros gerados por esse capital foram de:

• R$ 3512,32

• R$ 3400,00

• R$ 2520,25

• R$ 1012,32

• R$ 900,00