Đề tham khảo THPT 2023 môn Toán

Trường THPT Nguyễn Trung Trực

Đề tham khảo môn Toán 12

Đề số 2.

Năm học: 2022-2023

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

1 / 23

� Câu hỏi 1.
Có bao nhiêu cách chọn 2 viên bi từ một hộp có 10 viên bi?
A. C2
10.

B. A2
10.

C. 2!.

D. 102.

� Lời giải.

Mỗi cách chọn ra 2 viên bi từ một hộp có 10 viên bi theo yêu
cầu đề bài là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử.
Số cách chọn là C2
10.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

2 / 23

� Câu hỏi 1.
Có bao nhiêu cách chọn 2 viên bi từ một hộp có 10 viên bi?
A. C2
10.

B. A2
10.

C. 2!.

D. 102.

� Lời giải.

Mỗi cách chọn ra 2 viên bi từ một hộp có 10 viên bi theo yêu
cầu đề bài là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử.
Số cách chọn là C2
10.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

2 / 23

� Câu hỏi 1.
Có bao nhiêu cách chọn 2 viên bi từ một hộp có 10 viên bi?
A. C2
10.

B. A2
10.

C. 2!.

D. 102.

� Lời giải.

Mỗi cách chọn ra 2 viên bi từ một hộp có 10 viên bi theo yêu
cầu đề bài là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử.
Số cách chọn là C2
10.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

2 / 23

� Câu hỏi 2.
Cho cấp số nhân (un) có u1 = 1 và u4 = 64. Công bội của cấp
số nhân bằng
A. −4.

B. 4.

C. 8.

D. 64.

� Lời giải.

Công bội của cấp số nhân là q.

Ta có u4 = u1q3⇒ q =3
�u4

u1

=

3√

64 = 4. Vậy q = 4.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

3 / 23

� Câu hỏi 2.
Cho cấp số nhân (un) có u1 = 1 và u4 = 64. Công bội của cấp
số nhân bằng
A. −4.

B. 4.

C. 8.

D. 64.

� Lời giải.

Công bội của cấp số nhân là q.

Ta có u4 = u1q3⇒ q =3
�u4

u1

=

3√

64 = 4. Vậy q = 4.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

3 / 23

� Câu hỏi 2.
Cho cấp số nhân (un) có u1 = 1 và u4 = 64. Công bội của cấp
số nhân bằng
A. −4.

B. 4.

C. 8.

D. 64.

� Lời giải.

Công bội của cấp số nhân là q.

Ta có u4 = u1q3⇒ q =3
�u4

u1

=

3√

64 = 4. Vậy q = 4.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

3 / 23

� Câu hỏi 3.

Cho hàm số y =x−3

x+ 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên (−∞;−1).
B. Hàm số đồng biến trên (−∞;−1).
C. Hàm số nghịch biến trên (−∞;+∞).
D. Hàm số nghịch biến trên (−1;+∞).

� Lời giải.

Ta có y′=
4

(x+ 1)2 > 0 với x thuộc khoảng (−∞;−1) và

(−1;+∞).
Vậy hàm số đồng biến trên (−∞;−1).

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

4 / 23

� Câu hỏi 3.

Cho hàm số y =x−3

x+ 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên (−∞;−1).
B. Hàm số đồng biến trên (−∞;−1).
C. Hàm số nghịch biến trên (−∞;+∞).
D. Hàm số nghịch biến trên (−1;+∞).

� Lời giải.

Ta có y′=
4

(x+ 1)2 > 0 với x thuộc khoảng (−∞;−1) và

(−1;+∞).
Vậy hàm số đồng biến trên (−∞;−1).

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

4 / 23

� Câu hỏi 3.

Cho hàm số y =x−3

x+ 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên (−∞;−1).
B. Hàm số đồng biến trên (−∞;−1).
C. Hàm số nghịch biến trên (−∞;+∞).
D. Hàm số nghịch biến trên (−1;+∞).

� Lời giải.

Ta có y′=
4

(x+ 1)2 > 0 với x thuộc khoảng (−∞;−1) và

(−1;+∞).
Vậy hàm số đồng biến trên (−∞;−1).

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

4 / 23

� Câu hỏi 4.
Điểm cực đại của đồ thị của hàm số y = x4− 2x2+ 9 có tọa
độ là
A. (1;9).

B. (2;9).

C. (−2;9).

D. (0;9).

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

4 / 23

� Lời giải.

Ta có y′= 4x3−4x = 4x(x2−1). Đạo hàm y′= 0 ⇔

�

x = 0
x = ±1.

Bảng biến thiên

x
y′

y

−∞

−1

0

1

+∞

−

0

+

0

−

0

+

+∞+∞

8

9

8

+∞+∞

Điểm cực đại của đồ thị hàm số là (0;9).

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

4 / 23

� Câu hỏi 5.
Cho hàm số f (x) có đạo hàm f′(x) = 5(x−1)2(x + 3), ∀x ∈
R. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A. 5.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

4 / 23

� Lời giải.

Ta có f′(x) = 0 ⇔

�

x = 1
x = −3.

Bảng biến thiên

x

f′(x)

f (x)

−∞

−3

1

+∞

−

0

+

0

+

+∞+∞

8

+∞

Ta thấy f′(x) chỉ đổi dấu khi đi qua x = −3. Do đó hàm số đã

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

4 / 23

cho có 1 điểm cực trị.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

4 / 23

� Câu hỏi 6.

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =2x−1

x+ 2 là đường thẳng

A. x = 2.

B. x = −2.

C. y = 2.

D. y = −2.

� Lời giải.

Ta có lim
x→−∞y = lim
x→+∞y = 2, do đó y = 2 là tiệm cận ngang của

đồ thị hàm số đã cho.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

5 / 23

� Câu hỏi 6.

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =2x−1

x+ 2 là đường thẳng

A. x = 2.

B. x = −2.

C. y = 2.

D. y = −2.

� Lời giải.

Ta có lim
x→−∞y = lim
x→+∞y = 2, do đó y = 2 là tiệm cận ngang của

đồ thị hàm số đã cho.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

5 / 23

� Câu hỏi 6.

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =2x−1

x+ 2 là đường thẳng

A. x = 2.

B. x = −2.

C. y = 2.

D. y = −2.

� Lời giải.

Ta có lim
x→−∞y = lim
x→+∞y = 2, do đó y = 2 là tiệm cận ngang của

đồ thị hàm số đã cho.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

5 / 23

� Câu hỏi 7.

Đồ thị được cho ở hình bên là đồ thị của
hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
A. y = x4−2x2.
B. y = x4−2x2−1.
C. y = 2x4−2x2−2.
D. y = −x4+ 2x2+ 1.

x

y

O

−1

1

−2

−1

� Lời giải.

Từ đồ thị ta có x = 0 thì y = −1.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

6 / 23

� Câu hỏi 7.

Đồ thị được cho ở hình bên là đồ thị của
hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
A. y = x4−2x2.
B. y = x4−2x2−1.
C. y = 2x4−2x2−2.
D. y = −x4+ 2x2+ 1.

x

y

O

−1

1

−2

−1

� Lời giải.

Từ đồ thị ta có x = 0 thì y = −1.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

6 / 23

� Câu hỏi 7.

Đồ thị được cho ở hình bên là đồ thị của
hàm số nào trong các hàm số dưới đây?
A. y = x4−2x2.
B. y = x4−2x2−1.
C. y = 2x4−2x2−2.
D. y = −x4+ 2x2+ 1.

x

y

O

−1

1

−2

−1

� Lời giải.

Từ đồ thị ta có x = 0 thì y = −1.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

6 / 23

� Câu hỏi 8.
Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x4−9x2với trục hoành
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

� Lời giải.

Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x4−9x2với trục hoành là
số nghiệm của phương trình

x4−9x2= 0 ⇔





x = 0
x = 3
x = −3.

Vậy có 3 giao điểm.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

7 / 23

� Câu hỏi 8.
Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x4−9x2với trục hoành
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

� Lời giải.

Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x4−9x2với trục hoành là
số nghiệm của phương trình

x4−9x2= 0 ⇔





x = 0
x = 3
x = −3.

Vậy có 3 giao điểm.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

7 / 23

� Câu hỏi 8.
Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x4−9x2với trục hoành
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

� Lời giải.

Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x4−9x2với trục hoành là
số nghiệm của phương trình

x4−9x2= 0 ⇔





x = 0
x = 3
x = −3.

Vậy có 3 giao điểm.
Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

7 / 23

� Câu hỏi 9.
Với a ̸= 0 là số thực tùy ý, log9a2bằng
A. log3|a|.

B. 2log9a.

C. log3a.

D. 2log3a2.

� Lời giải.

Dùng các định lý của lôgarit, ta có log9a2= log32 |a|2=2

2log3|a| =
log3|a|.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

8 / 23

� Câu hỏi 9.
Với a ̸= 0 là số thực tùy ý, log9a2bằng
A. log3|a|.

B. 2log9a.

C. log3a.

D. 2log3a2.

� Lời giải.

Dùng các định lý của lôgarit, ta có log9a2= log32 |a|2=2

2log3|a| =
log3|a|.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

8 / 23

� Câu hỏi 9.
Với a ̸= 0 là số thực tùy ý, log9a2bằng
A. log3|a|.

B. 2log9a.

C. log3a.

D. 2log3a2.

� Lời giải.

Dùng các định lý của lôgarit, ta có log9a2= log32 |a|2=2

2log3|a| =
log3|a|.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

8 / 23

� Câu hỏi 10.
Hàm số y = 9x2+1có đạo hàm là
A. y′=
�
x2+ 1
�
9x2.

B. y′= 2x
�
x2+ 1
�
9x2.
C. y′= 2x9x2.

D. y′= 36x9x2ln3.

� Lời giải.

Ta có y′= 9x2+1�
x2+ 1
�′ln9 = 9x2 ·9·2x·2ln3 = 36x9x2 ln3.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

9 / 23

� Câu hỏi 10.
Hàm số y = 9x2+1có đạo hàm là
A. y′=
�
x2+ 1
�
9x2.

B. y′= 2x
�
x2+ 1
�
9x2.
C. y′= 2x9x2.

D. y′= 36x9x2ln3.

� Lời giải.

Ta có y′= 9x2+1�
x2+ 1
�′ln9 = 9x2 ·9·2x·2ln3 = 36x9x2 ln3.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

9 / 23

� Câu hỏi 10.
Hàm số y = 9x2+1có đạo hàm là
A. y′=
�
x2+ 1
�
9x2.

B. y′= 2x
�
x2+ 1
�
9x2.
C. y′= 2x9x2.

D. y′= 36x9x2ln3.

� Lời giải.

Ta có y′= 9x2+1�
x2+ 1
�′ln9 = 9x2 ·9·2x·2ln3 = 36x9x2 ln3.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

9 / 23

� Câu hỏi 11.

Với a là số thực dương tùy ý, a
1
36√a bằng

A. a
1
3.

B.√a.

C. a
2
9.

D. a2.

� Lời giải.

Ta có a
1
36√a = a
1
3 ·a
1
6 = a
1
3+1

6 = a
1
2 =√a.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

10 / 23

� Câu hỏi 11.

Với a là số thực dương tùy ý, a
1
36√a bằng

A. a
1
3.

B.√a.

C. a
2
9.

D. a2.

� Lời giải.

Ta có a
1
36√a = a
1
3 ·a
1
6 = a
1
3+1

6 = a
1
2 =√a.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

10 / 23

� Câu hỏi 11.

Với a là số thực dương tùy ý, a
1
36√a bằng

A. a
1
3.

B.√a.

C. a
2
9.

D. a2.

� Lời giải.

Ta có a
1
36√a = a
1
3 ·a
1
6 = a
1
3+1

6 = a
1
2 =√a.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

10 / 23

� Câu hỏi 12.
Tích các nghiệm của phương trình 32x2+5x+4= 9 là
A. 1.

B. −1.

C. 2.

D. −2.

� Lời giải.

Ta có 32x2+5x+4= 9 ⇔ 32x2+5x+4= 32⇔ 2x2+5x+4 = 2 ⇔

2x2+ 5x+ 2 = 0 ⇔



x = −1

2

x = −2.

Vậy tích 2 nghiệm của phương trình là 1.

Cách khác: Theo hệ thức Viet, x1x2 =2

2= 1.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

11 / 23

� Câu hỏi 12.
Tích các nghiệm của phương trình 32x2+5x+4= 9 là
A. 1.

B. −1.

C. 2.

D. −2.

� Lời giải.

Ta có 32x2+5x+4= 9 ⇔ 32x2+5x+4= 32⇔ 2x2+5x+4 = 2 ⇔

2x2+ 5x+ 2 = 0 ⇔



x = −1

2

x = −2.

Vậy tích 2 nghiệm của phương trình là 1.

Cách khác: Theo hệ thức Viet, x1x2 =2

2= 1.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

11 / 23

� Câu hỏi 12.
Tích các nghiệm của phương trình 32x2+5x+4= 9 là
A. 1.

B. −1.

C. 2.

D. −2.

� Lời giải.

Ta có 32x2+5x+4= 9 ⇔ 32x2+5x+4= 32⇔ 2x2+5x+4 = 2 ⇔

2x2+ 5x+ 2 = 0 ⇔



x = −1

2

x = −2.

Vậy tích 2 nghiệm của phương trình là 1.

Cách khác: Theo hệ thức Viet, x1x2 =2

2= 1.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

11 / 23

� Câu hỏi 13.
Tổng các nghiệm của phương trình ln
�
x2−3x+ 1
� = −9 là

A. −3.

B. 9.

C. 3.

D. e−9.

� Lời giải.

Ta có ln
�
x2−3x+ 1
� = −9 ⇔ x2−3x+1 = e−9 ⇔ x2−3x+
1−e−9= 0.
Phương trình x2−3x + 1−e−9= 0 có ∆ = 5+ 4e−9> 0 nên
luôn có hai nghiệm phân biệt và có tổng bằng 3.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

12 / 23

� Câu hỏi 13.
Tổng các nghiệm của phương trình ln
�
x2−3x+ 1
� = −9 là

A. −3.

B. 9.

C. 3.

D. e−9.

� Lời giải.

Ta có ln
�
x2−3x+ 1
� = −9 ⇔ x2−3x+1 = e−9 ⇔ x2−3x+
1−e−9= 0.
Phương trình x2−3x + 1−e−9= 0 có ∆ = 5+ 4e−9> 0 nên
luôn có hai nghiệm phân biệt và có tổng bằng 3.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

12 / 23

� Câu hỏi 13.
Tổng các nghiệm của phương trình ln
�
x2−3x+ 1
� = −9 là

A. −3.

B. 9.

C. 3.

D. e−9.

� Lời giải.

Ta có ln
�
x2−3x+ 1
� = −9 ⇔ x2−3x+1 = e−9 ⇔ x2−3x+
1−e−9= 0.
Phương trình x2−3x + 1−e−9= 0 có ∆ = 5+ 4e−9> 0 nên
luôn có hai nghiệm phân biệt và có tổng bằng 3.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

12 / 23

� Câu hỏi 14.

Cho hàm số f (x) =
1

(3x−2)3. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A.

�
f (x)dx =
1

6(3x−2)2 + C.

B.

�
f (x)dx = −
1

6(3x−2)2 + C.

C.

�
f (x)dx = −
1

3(3x−2)2 + C.

D.

�
f (x)dx =
1

3(3x−2)2 + C.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

12 / 23

� Lời giải.

Ta có

�
f (x)dx =
�
1

(3x−2)3dx = 1

3

�
1

(3x−2)3d(3x−2) =

−
1

6(3x−2)2 + C.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

12 / 23

� Câu hỏi 15.
Nguyên hàm của hàm số f (x) = sin3x là

A. −cos3x

3
+ C.

B.cos3x

3
+ C.

C. −sin3x

3
+ C.

D. −3cos3x+ C.

� Lời giải.

Ta có

�
sin3x dx = −cos3x

3
+ C.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

13 / 23

� Câu hỏi 15.
Nguyên hàm của hàm số f (x) = sin3x là

A. −cos3x

3
+ C.

B.cos3x

3
+ C.

C. −sin3x

3
+ C.

D. −3cos3x+ C.

� Lời giải.

Ta có

�
sin3x dx = −cos3x

3
+ C.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

13 / 23

� Câu hỏi 15.
Nguyên hàm của hàm số f (x) = sin3x là

A. −cos3x

3
+ C.

B.cos3x

3
+ C.

C. −sin3x

3
+ C.

D. −3cos3x+ C.

� Lời giải.

Ta có

�
sin3x dx = −cos3x

3
+ C.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

13 / 23

� Câu hỏi 16.

Cho

5�

−2
f (x)dx = 8 và

−2�

5
g(x)dx = 3. Khi đó,

5�

−2
[f (x)−4g(x)]dx

bằng
A. 20.

B. 12.

C. 11.

D. 5.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

13 / 23

� Lời giải.

Ta có

5�

−2
[f (x)−4g(x)]dx =

5�

−2
f (x)dx−4

5�

−2
g(x)dx =

5�

−2
f (x)dx+

4

−2�

5
g(x)dx = 8+ 4·3 = 20.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

13 / 23

� Câu hỏi 17.

Tính I =

e�

1

�1

x− 1

x2

�
dx.

A. I =1

e+ 1. B. I = 1.

C. I = e.

D. I =1

e.

� Lời giải.

Ta có I =
�
ln|x|+1

x

������

e

1
=1

e.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

14 / 23

� Câu hỏi 17.

Tính I =

e�

1

�1

x− 1

x2

�
dx.

A. I =1

e+ 1. B. I = 1.

C. I = e.

D. I =1

e.

� Lời giải.

Ta có I =
�
ln|x|+1

x

������

e

1
=1

e.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

14 / 23

� Câu hỏi 17.

Tính I =

e�

1

�1

x− 1

x2

�
dx.

A. I =1

e+ 1. B. I = 1.

C. I = e.

D. I =1

e.

� Lời giải.

Ta có I =
�
ln|x|+1

x

������

e

1
=1

e.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

14 / 23

� Câu hỏi 18.
Cho số phức z = 4+ 6i. Tìm số phức w = i¯z+ z.
A. w = 10+ 10i.

B. w = 10−10i.
C. w = −10+ 10i.

D. w = −2+ 10i.

� Lời giải.

Ta có w = i(4−6i) + 4+ 6i = 10+ 10i.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

15 / 23

� Câu hỏi 18.
Cho số phức z = 4+ 6i. Tìm số phức w = i¯z+ z.
A. w = 10+ 10i.

B. w = 10−10i.
C. w = −10+ 10i.

D. w = −2+ 10i.

� Lời giải.

Ta có w = i(4−6i) + 4+ 6i = 10+ 10i.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

15 / 23

� Câu hỏi 18.
Cho số phức z = 4+ 6i. Tìm số phức w = i¯z+ z.
A. w = 10+ 10i.

B. w = 10−10i.
C. w = −10+ 10i.

D. w = −2+ 10i.

� Lời giải.

Ta có w = i(4−6i) + 4+ 6i = 10+ 10i.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

15 / 23

� Câu hỏi 19.

Cho số phức z = −1

2+

√

3
2i. Tìm số phức w = 1+z+z2.

A. 2−
√

3i.

B. 0.

C. 1.

D. −1

2+

√

3
2i.

� Lời giải.

Ta có z2=

�

−1

2+

√

3
2i

�2
=1

4− 3

4−

√

3
2i = −1

2−

√

3
2i.

Vậy w = 1+ z+ z2= 1−1

2+

√

3
2i− 1

2−

√

3
2i = 0.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

16 / 23

� Câu hỏi 19.

Cho số phức z = −1

2+

√

3
2i. Tìm số phức w = 1+z+z2.

A. 2−
√

3i.

B. 0.

C. 1.

D. −1

2+

√

3
2i.

� Lời giải.

Ta có z2=

�

−1

2+

√

3
2i

�2
=1

4− 3

4−

√

3
2i = −1

2−

√

3
2i.

Vậy w = 1+ z+ z2= 1−1

2+

√

3
2i− 1

2−

√

3
2i = 0.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

16 / 23

� Câu hỏi 19.

Cho số phức z = −1

2+

√

3
2i. Tìm số phức w = 1+z+z2.

A. 2−
√

3i.

B. 0.

C. 1.

D. −1

2+

√

3
2i.

� Lời giải.

Ta có z2=

�

−1

2+

√

3
2i

�2
=1

4− 3

4−

√

3
2i = −1

2−

√

3
2i.

Vậy w = 1+ z+ z2= 1−1

2+

√

3
2i− 1

2−

√

3
2i = 0.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

16 / 23

� Câu hỏi 20.
Trên mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn của số phức
z = x + yi thỏa mãn |z + 2 + i| = |¯z − 3i| là đường thẳng có
phương trình
A. y = x+ 1.

B. y = −x+ 1.
C. y = −x−1.

D. y = x−1.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

16 / 23

� Lời giải.

Ta có ¯z = x−yi.
Do đó |z+2+i| = |¯z−3i| ⇔ (x+2)2+(y+1)2= x2+(−y−
3)2⇔ 4x−4y = 4 ⇔ y = x−1.
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z = x + yi thỏa
mãn |z+2+i| = |¯z−3i| là đường thẳng có phương trình y =
x−1.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

16 / 23

� Câu hỏi 21.
Cho khối chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc
tại O và OA = 2, OB = 3, OC = 6 .Thể tích của khối chóp
bằng
A. 6.

B. 12.

C. 24.

D. 36.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

16 / 23

� Lời giải.

Do OA, OB, OC đôi một vuông góc nên








OA ⊥ OB
OA ⊥ OC
OB,OC ⊂ (OBC)

⇒

OA ⊥ (OBC).
Suy ra OA là đường cao của khối chóp A.OBC.

⇒ VA.OBC =1

3OA.S△OBC = 1

6OA.OB.OC = 6màVO.ABC = VA.OBC = 6.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

16 / 23

� Câu hỏi 22.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′có AB = 2 cm, AD =
3 cm, AA′= 7 cm. Tính thể tích của khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′.

A. 12 cm3.B. 42 cm3.

C. 24 cm3.

D. 36 cm3.

� Lời giải.

Do ABCD.A′B′C′D′là hình hộp chữ nhật nên VABCD.A′B′C′D′ =
AB·AD·AA′= 42 cm3.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

17 / 23

� Câu hỏi 22.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′có AB = 2 cm, AD =
3 cm, AA′= 7 cm. Tính thể tích của khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′.

A. 12 cm3.B. 42 cm3.

C. 24 cm3.

D. 36 cm3.

� Lời giải.

Do ABCD.A′B′C′D′là hình hộp chữ nhật nên VABCD.A′B′C′D′ =
AB·AD·AA′= 42 cm3.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

17 / 23

� Câu hỏi 22.
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′có AB = 2 cm, AD =
3 cm, AA′= 7 cm. Tính thể tích của khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′.

A. 12 cm3.B. 42 cm3.

C. 24 cm3.

D. 36 cm3.

� Lời giải.

Do ABCD.A′B′C′D′là hình hộp chữ nhật nên VABCD.A′B′C′D′ =
AB·AD·AA′= 42 cm3.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

17 / 23

� Câu hỏi 23.
Cho khối nón có chiều cao bằng 24 cm, độ dài đường sinh
bằng 26 cm. Tính thể tích V của khối nón tương ứng.
A. V = 800π cm3.

B. V = 1600π cm3.
C. V =1600π

3
cm3.

D. V =800π

3
cm3.

� Lời giải.

Ta có R =
√

l2−h2= 10 cm.

Thể tích V của khối nón là V =1

3πR2h = 800π cm3.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

18 / 23

� Câu hỏi 23.
Cho khối nón có chiều cao bằng 24 cm, độ dài đường sinh
bằng 26 cm. Tính thể tích V của khối nón tương ứng.
A. V = 800π cm3.

B. V = 1600π cm3.
C. V =1600π

3
cm3.

D. V =800π

3
cm3.

� Lời giải.

Ta có R =
√

l2−h2= 10 cm.

Thể tích V của khối nón là V =1

3πR2h = 800π cm3.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

18 / 23

� Câu hỏi 23.
Cho khối nón có chiều cao bằng 24 cm, độ dài đường sinh
bằng 26 cm. Tính thể tích V của khối nón tương ứng.
A. V = 800π cm3.

B. V = 1600π cm3.
C. V =1600π

3
cm3.

D. V =800π

3
cm3.

� Lời giải.

Ta có R =
√

l2−h2= 10 cm.

Thể tích V của khối nón là V =1

3πR2h = 800π cm3.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

18 / 23

� Câu hỏi 24.
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a, chu vi của thiết diện qua
trục bằng 10a. Thể tích của khối trụ đã cho bằng
A. πa3.

B. 4πa3.

C. 3πa3.

D. 5πa3.

� Lời giải.

Chu vi thiết diện bằng 4R+ 2h = 10a ⇒ h = 3a.
Thể tích của khối trụ đã cho là V = πR2h = 3πa3.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

19 / 23

� Câu hỏi 24.
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a, chu vi của thiết diện qua
trục bằng 10a. Thể tích của khối trụ đã cho bằng
A. πa3.

B. 4πa3.

C. 3πa3.

D. 5πa3.

� Lời giải.

Chu vi thiết diện bằng 4R+ 2h = 10a ⇒ h = 3a.
Thể tích của khối trụ đã cho là V = πR2h = 3πa3.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

19 / 23

� Câu hỏi 24.
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a, chu vi của thiết diện qua
trục bằng 10a. Thể tích của khối trụ đã cho bằng
A. πa3.

B. 4πa3.

C. 3πa3.

D. 5πa3.

� Lời giải.

Chu vi thiết diện bằng 4R+ 2h = 10a ⇒ h = 3a.
Thể tích của khối trụ đã cho là V = πR2h = 3πa3.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

19 / 23

� Câu hỏi 25.
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1;2;−1), B(2;−1;3),
C(−3;5;1). Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là các
hình bình hành.
A. D(−2;2;5).

B. D(−4;8;−3).

C. D(−4;8;−5).

D. D(−2;8;−3).

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

19 / 23

� Lời giải.

Giả sử D(x;y;z). Ta có−→
AB = (1;−3;4),−→
DC = (−3 − x;5 −
y;1−z).

Tứ giác ABCD là các hình bình hành ⇔ −→
AB =−→
DC ⇔








−3−x = 1
5−y = −3
1−z = 4

⇔








x = −4
y = 8
z = −3

⇒ D(−4;8;−3).

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

19 / 23

� Câu hỏi 26.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x2+
y2+z2−2x−4y−6z+5 = 0 Diện tích của mặt cầu (S) là
A. 9π.

B. 36π.

C. 36.

D. 12π.

� Lời giải.

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3); R = 3.
Diện tích của mặt cầu (S) là S = 4πR2= 4π ·32= 36π.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

20 / 23

� Câu hỏi 26.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x2+
y2+z2−2x−4y−6z+5 = 0 Diện tích của mặt cầu (S) là
A. 9π.

B. 36π.

C. 36.

D. 12π.

� Lời giải.

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3); R = 3.
Diện tích của mặt cầu (S) là S = 4πR2= 4π ·32= 36π.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

20 / 23

� Câu hỏi 26.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x2+
y2+z2−2x−4y−6z+5 = 0 Diện tích của mặt cầu (S) là
A. 9π.

B. 36π.

C. 36.

D. 12π.

� Lời giải.

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3); R = 3.
Diện tích của mặt cầu (S) là S = 4πR2= 4π ·32= 36π.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

20 / 23

� Câu hỏi 27.
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào sau đây song song với
trục Ox.
A. (P): z = 0.

B. (Q): x+ y+ 1 = 0.
C. (R): x+ z+ 1 = 0.

D. (S): y+ z+ 1 = 0.

� Lời giải.

Mặt phẳng song song với trục Ox có dạng by+ cz+ d = 0.
Nên mặt phẳng (S): y+ z+ 1 = 0 song song với trục Ox.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

21 / 23

� Câu hỏi 27.
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào sau đây song song với
trục Ox.
A. (P): z = 0.

B. (Q): x+ y+ 1 = 0.
C. (R): x+ z+ 1 = 0.

D. (S): y+ z+ 1 = 0.

� Lời giải.

Mặt phẳng song song với trục Ox có dạng by+ cz+ d = 0.
Nên mặt phẳng (S): y+ z+ 1 = 0 song song với trục Ox.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

21 / 23

� Câu hỏi 27.
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào sau đây song song với
trục Ox.
A. (P): z = 0.

B. (Q): x+ y+ 1 = 0.
C. (R): x+ z+ 1 = 0.

D. (S): y+ z+ 1 = 0.

� Lời giải.

Mặt phẳng song song với trục Ox có dạng by+ cz+ d = 0.
Nên mặt phẳng (S): y+ z+ 1 = 0 song song với trục Ox.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

21 / 23

� Câu hỏi 28.
Trong không gian Oxyz, véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)

chứa hai đường thẳng ∆1 :x

1= y+ 1

2
=z+ 2

−3 và ∆2 : x+ 2

2
=

y−1
−2= z+ 3

1
là

A.⃗n = (6;7;4).

B.⃗n = (4;7;6).

C.⃗n = (−4;7;6).

D.⃗n = (−6;7;4).

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

21 / 23

� Lời giải.

Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng ∆1 và ∆2 lần lượt là⃗u1 =
(1;2;−3) và⃗u2 = (2;−2;1).

Véc-tơ⃗n là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nên

�

⃗n ⊥⃗u1
⃗n ⊥⃗u2

.

Do đó⃗n = [⃗u1;⃗u2] = (−4;−7;−6) là một véc-tơ pháp tuyến
của mặt phẳng (P).

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

21 / 23

� Câu hỏi 29.
Cho tập hợp A = {1,2,3,4,5}. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên
gồm 3 chữ số khác nhau được chọn từ tập A. Chọn ngẫu nhiên
một số từ S. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 3

A.1

5.

B.2

5.

C.3

5.

D.4

5.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

21 / 23

� Lời giải.

S: “Tập hợp các số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau được
chọn từ tập A ”.
Số phần tử của không gian mẫu là n(S) = A3
5= 60 (số).

B: “Tập hợp các số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau chia hết
cho 3 được chọn từ tập A ”.
Vì số được lập có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 3 nên có
4 bộ số là {1,2,3}, {1,3,5}, {2,3,4}, {3,4,5}.
Với mỗi bộ số thì có P3 = 3! = 6 (số).
Vậy số các số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 3 được lập

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

21 / 23

từ 4 bộ trên là n(B) = 4·6 = 24.
Vậy xác suất chọn được số có 3 chữ số khác nhau và chia hết

cho 3 là P(B) =n(B)

n(S) = 24

60= 2

5.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

21 / 23

� Câu hỏi 30.
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên R.

A. y =x+ 1

x−1.

B. y = −x2−1.

C. y = −(x+ 1)2.

D. y = −x3+ 3x2−3x+ 5.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

21 / 23

� Lời giải.

Hàm số y =x+ 1

x−1 có tập xác định là D = R \ {1}, nên hàm

số không nghịch biến trên R.
Hàm số y = −x2−1 có y′= −2x ≤ 0, ∀x ∈ [0;+∞), nên hàm
số không nghịch biến trên R.
Hàm số y = −(x + 1)2có y′= −2x−2 ≤ 0, ∀x ∈ [−1;+∞),
nên hàm số không nghịch biến trên R.
Hàm số y = −x3+ 3x2− 3x + 5 có y′= −3x2+ 6x − 3 ≤ 0,
∀x ∈ R, nên hàm số nghịch biến trên R.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

21 / 23

� Câu hỏi 31.
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
y =
√

5−x+
√

x+ 3. Hiệu M −m bằng
A. 4−2
√

2.B.

√

2.

C. 7−4
√

2.

D. 8−5
√

2.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

21 / 23

� Lời giải.

Điều kiện xác định D = [−3;5].

Ta có y′= (
√

5−x+
√

x+ 3)′=
−1

2
√

5−x+
1

2
√

x+ 3=
√

5−x−
√

x+ 3

2
√

5−x·
√

x+ 3.

Khi đó y′= 0 ⇔
√

5−x =
√

x+ 3 ⇔ x = 1.
Ta có bảng biến thiên của hàm số y như sau

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

21 / 23

x
y′

y′

−3

1

5

+

0−

2
√

22
√

2

4

2
√

22
√

2

Từ bảng biến thiên ta có, giá trị lớn nhất của hàm số là M = 4,
giá trị nhỏ nhất của hàm số là m = 2
√

2.
Do đó, M −m = 4−2
√

2.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

21 / 23

� Câu hỏi 32.
Tập nghiệm của bất phương trình log0,5(2−x) ≥ −1 là
A. (0;+∞).B. [0;2].

C. [0;2).

D. (0;2).

� Lời giải.

Ta có

log0,5(2−x) ≥ −1 ⇔ log0,5(2−x) ≥ log0,52 ⇔ 0 < 2−x ≤ 2 ⇔ 0 ≤ x < 2.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

22 / 23

� Câu hỏi 32.
Tập nghiệm của bất phương trình log0,5(2−x) ≥ −1 là
A. (0;+∞).B. [0;2].

C. [0;2).

D. (0;2).

� Lời giải.

Ta có

log0,5(2−x) ≥ −1 ⇔ log0,5(2−x) ≥ log0,52 ⇔ 0 < 2−x ≤ 2 ⇔ 0 ≤ x < 2.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

22 / 23

� Câu hỏi 32.
Tập nghiệm của bất phương trình log0,5(2−x) ≥ −1 là
A. (0;+∞).B. [0;2].

C. [0;2).

D. (0;2).

� Lời giải.

Ta có

log0,5(2−x) ≥ −1 ⇔ log0,5(2−x) ≥ log0,52 ⇔ 0 < 2−x ≤ 2 ⇔ 0 ≤ x < 2.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

22 / 23

� Câu hỏi 33.

Nếu

4�

0
f (x)dx = −3 thì

2�

0
f (2x)dx bằng

A. −6.

B. −3

2.

C. −3.

D. −2.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

22 / 23

� Lời giải.

Đặt t = 2x ⇒ dt = 2dx ⇒

2�

0
f (2x)dx =1

2

4�

0
f (t)dt =1

2

4�

0
f (x)dx =

−3

2.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

22 / 23

� Câu hỏi 34.
Trong mặt phẳng phức, biết điểm M1(1;−2) và điểm M2(−2;2)
lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức z1 và z2. Khi đó
|z1 −z2| bằng
A.

√

5.

B. 2
√

2.

C. 5.

D.

√

7.

� Lời giải.

Ta có z1 = 1−2i, z2 = −2+ 2i.
Khi đó |z1 −z2| = |(1−2i) −(−2+ 2i)| = |3−4i| =
�

32+ (−4)2=
5.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Câu hỏi 34.
Trong mặt phẳng phức, biết điểm M1(1;−2) và điểm M2(−2;2)
lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức z1 và z2. Khi đó
|z1 −z2| bằng
A.

√

5.

B. 2
√

2.

C. 5.

D.

√

7.

� Lời giải.

Ta có z1 = 1−2i, z2 = −2+ 2i.
Khi đó |z1 −z2| = |(1−2i) −(−2+ 2i)| = |3−4i| =
�

32+ (−4)2=
5.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Câu hỏi 34.
Trong mặt phẳng phức, biết điểm M1(1;−2) và điểm M2(−2;2)
lần lượt là các điểm biểu diễn của số phức z1 và z2. Khi đó
|z1 −z2| bằng
A.

√

5.

B. 2
√

2.

C. 5.

D.

√

7.

� Lời giải.

Ta có z1 = 1−2i, z2 = −2+ 2i.
Khi đó |z1 −z2| = |(1−2i) −(−2+ 2i)| = |3−4i| =
�

32+ (−4)2=
5.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Câu hỏi 35.

Cho

hình

lăng

trụ

tam

giác

đều

ABC.A′B′C′; AB = a
√

3, BB′= a (tham
khảo hình vẽ bên). Góc giữa đường
thẳng AC′và mặt phẳng (ABC) bằng
A. 60◦.B. 45◦.C. 30◦.D. 90◦.

A

C

B

A′

B′

C′

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Lời giải.

Ta có CC′⊥ (ABC) nên AC là hình chiếu của AC′trên mặt
phẳng (ABC).
Từ đó suy ra góc giữa đường thẳng AC′và mặt phẳng (ABC)
bằng góc�CAC′.

Xét △CAC′có tan�CAC′=CC′

AC=
a

a
√

3= 1
√

3

. Vậy�CAC′=

30◦.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Câu hỏi 36.
Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′có độ dài cạnh bằng 2
(tham khảo hình bên dưới). Khoảng cách từ điểm C đến mặt
phẳng (BDC′) bằng

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

A.2
√

3

3.

B.3
√

2

5 .

C.2
√

3

5 .

D.4
√

2

3 .

B

A

C

D

A′

B′
C′
D′

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Lời giải.

Ta xét tứ diện C′CBD có các cạnh CC′, CB, CD đôi một vuông
góc, gọi khoảng cách từ C đến mặt phẳng (BDC′) là h ta có
1
h2 =
1

CC′2+
1

CD2 +
1

BC2 = 3

4⇒ h = 2
√

3

3 .

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Câu hỏi 37.
Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I (1;−2;−3) và tiếp
xúc với mặt phẳng (P): x + 2y−2z + 6 = 0 có phương trình
là
A. (x−1)2+ (y+ 2)2+ (z+ 3)2= 3.
B. (x−1)2+ (y+ 2)2+ (z+ 3)2= 9.
C. (x+ 1)2+ (y−2)2+ (z−3)2= 3.
D. (x+ 1)2+ (y−2)2+ (z−3)2= 9.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Lời giải.

Theo đề, có R = d(I,(P)) =|1+ 2(−2) −2(−3) + 6|
�

12+ 22+ (−2)2
=9

3=

3.
Phương trình mặt cầu cần tìm là (x−1)2+(y+ 2)2+(z+ 3)2=
9.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Câu hỏi 38.
Trong không gian Oxyz, đường thẳng (d) đi qua M (2;4;6) và

song song với đường thẳng (∆) :






x = 1−t
y = 2−3t
z = 3+ 6t

có phương

trình chính tắc là
A.x+ 1

−1= y+ 3

−3= z+ 5

6
.

B.x+ 1

1
=y+ 3

2
=z+ 5

3
.

C.x−1

1
=z−3

−6= y−5

3
.

D.x

1= y+ 2

3
=z−18

−6.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Lời giải.

Đường thẳng (d) song song với (∆) nên (d) có một vectơ chỉ
phương là−→u = (−1;−3; 6) hay−→u = (1;3;−6).

Thay toạ độ M (2;4;6) vàox

1= y+ 2

3
=z−18

−6
ta được 2

1=

4+ 2

3
=6−18

−6
đúng.

Vậy phương trình chính tắc của đường thẳng (d) cần tìm là
x
1= y+ 2

3
=z−18

−6 .

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Câu hỏi 39.

Cho hàm số y =−cos 4x+ |sin2x|+ 2

|sin2x|+ 1
. Gọi M là giá trị lớn

nhất và m là giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho. Khi đóM

m

bằng
A. 4.

B. 5.

C. 3.

D. 2.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Lời giải.

Tập xác định D = R.

Ta có y =2sin22x+ |sin2x|+ 1

|sin2x|+ 1
.

Đặt t = |sin2x|, 0 ≤ t ≤ 1 ⇒ y = f (t) =2t2 + t + 1

t + 1
liên tục

trên [0;1].

Ta có f′(t) =2t2 + 4t

(t + 1)2.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

Đạo hàm f′(t) = 0 ⇔
� t = 0

t = −2 /∈ (0;1)⇒ f (0) = 1; f (1) =

2.
Vậy m = min
Ry = min
[0;1]f (t) = f (0) = 1 và M = max
Ry = max
[0;1]f (t) =

f (1) = 2 ⇒M

m= 2.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Câu hỏi 40.
Số giá trị nguyên của m để phương trình 8x2−3·4x2+1= m có
không ít hơn ba nghiệm thực phân biệt là
A. 241.

B. 242.

C. 245.

D. 247.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Lời giải.

Ta có 8x2−3·4x2+1= m ⇔
�
2x2�3
−12·
�
2x2�2
= m.

Đặt t = 2x2với t ≥ 1. Khi đó ta được phương trình t3−12t2=
m

(1).
Xét hàm số y = t3−12t2, t ≥ 1. Đạo hàm y′= 3t2−24t, t ≥ 1.
y′= 0 ⇔ 3t2−24t = 0 ⇔ t = 0 (loại) hoặc t = 8 (nhận).
Bảng biến thiên của hàm số

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

t
y′

y

1

8

+∞

−

0

+

−11−11

−256−256

+∞+∞

Để phương trình đã cho có không ít hơn ba nghiệm phân biệt
thì (1) phải có hai nghiệm phân biệt thuộc [1;+∞), dựa vào
bảng biến thiên ta suy ra −256 < m ≤ −11.
Mà m lấy các giá trị nguyên nên m ∈ {−255;−254;...;−11},
tức có 245 giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu đề bài.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Câu hỏi 41.
Cho f (x) là hàm số liên tục trên tập số thực R và thỏa mãn

f (ex+ x+ 1) =
x9

ex+ 1. Tính I =

e+2�

2
f (x)dx.

A.1

8.

B.1

9.

C.1

10.

D.1

11.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Lời giải.

Ta có f (ex+ x+ 1) =
x9

ex+ 1⇔ (ex + 1)f (ex + x+ 1) = x9 ⇔

1�

0
(ex+ 1)f (ex+ x+ 1)dx =

1�

0
x9dx.

Xét J =

1�

0
(ex+ 1)f (ex+ x+ 1)dx. Đặt t = ex+x+1 ⇔ dt =

(ex+ 1)dx.
Với x = 0 suy ra t = 2.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

Với x = 1 suy ra t = e+ 2.

Suy ra J =

1�

0
(ex+ 1)f (ex+ x+ 1)dx =

e+2�

2
f (t)dt =

e+2�

2
f (x)dx =

I.

Ta có

1�

0
x9dx =x10

10

����

1

0
=1

10. Vậy I =

e+2�

2
f (x)dx =1

10.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Câu hỏi 42.
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện
|z−2022i| = 2023 và z2là số thuần ảo?
A. 1.

B. 0.

C. 4.

D. 2.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Lời giải.

Gọi z = a+ bi, (a,b ∈ R).
Ta có z2= (a+ bi)2= a2−b2+2abi là số thuần ảo nên a2−
b2= 0 ⇔ a2= b2.
Mặt khác

|z−2022i| = 2023

⇔ |a+ (b−2022)i| = 2023 ⇔ a2+ (b−2022)2= 20232

⇔ 2b2−4044b−4045 = 0

(1).

Do 2(−4045) < 0 nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

trái dấu hay (1) ⇔
� b = b1 (b1 < 0)

b = b2 (b2 > 0).

Với b = b1 thì a2= b2
1⇔ a1,2 = ±
�

b2
1.

Với b = b2 thì a2= b2
2⇔ a3,4 = ±
�

b2
2

Vậy có 4 số phức z cần tìm.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Câu hỏi 43.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P,
Q, R, S lần lượt là các điểm thuộc
các cạnh AB, BC, CD, AD, BD,
AC sao cho AM = MB; BN = NC;
DQ = QA; BR = 2021RD; AS =
1

2022SC (tham khảo hình vẽ bên).

Thể tích của khối bát diện MNPQRS
bằng

A.1

4V.

B.1

3V.

C.1011

2021V.

D.1

2V.

A

D

C

B

M

Q

P

R

S

N

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Lời giải.

Ta có VMNPRRS = VA.BCD −VC.SNP −VD.PQR −VA.MQS −VB.MNR.

Đặt VA.BCD = V, ta đượcVC.NPS

V
=CN ·CS·CP

CB·CA·CD= 1·2022·1

2·2023·2;

VA.MQS

V
=AM ·AS·AQ

AB·AC ·AD=
1·1·1

2·2023·2.

VD.PQR

V
=DP·DQ·DR

DC ·DA·DB=
1·1·1

2·2·2022;

VB.MNR

V
=BM ·BN ·BR

BA·BC ·BD= 1·1·2021

2·2·2022

⇒ VMNPQRS = V −
2022

2·2023·2V −
1

2·2023·2V −
1

2·2·2022V −

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

2021

2·2·2022V = V

2 .

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Câu hỏi 44.
Ông Đức gửi ngân hàng số tiền 500.000.000 đồng loại kỳ hạn
6 tháng với lãi suất 5,6% trên một năm theo thể thức lãi kép
(tức là nếu đến kỳ hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi
được tính vào vốn của kỳ kế tiếp). Hỏi sau 3 năm 9 tháng ông
Đức nhận được số tiền (làm tròn đến hàng nghìn) cả gốc lẫn
lãi là bao nhiêu? Biết rằng ông Đức không rút cả gốc lẫn lãi
trong các kỳ hạn trước đó và nếu rút trước kỳ hạn thì ngân
hàng trả lãi suất theo loại không kỳ hạn 0,00027% trên một
ngày. (Một tháng tính 30 ngày).

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

A. 606.627.000 đồng.

B. 623.613.000 đồng.
C. 606.775.000 đồng.

D. 611.764.000 đồng.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Lời giải.

Một kỳ hạn 6 tháng có lãi suất 2,8%.
Sau 3 năm 6 tháng, tức 7 kỳ hạn số tiền ông Đức có là T1 =
500.000.000(1+ 2,8%)7đồng.
Vậy sau 3 năm 9 tháng (3 tháng còn lại ngân hàng trả lãi suất
theo loại không kỳ hạn 0,00027% trên một ngày) nên số tiền
cả gốc lẫn lãi của ông Đức có là

T2 = T1(1+ 0,00027%)90≈ 606.775.000 đồng.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Câu hỏi 45.
Trong không gian Oxyz, cho điểm M (4;6;4) và hai đường

thẳng d1 :x−1

2
=y+ 3

4
=z

3, d2 : x

1= y−2

1
=z+ 4

3
. Đường

thẳng đi qua M đồng thời cắt cả 2 đường thẳng d1 và d2 tại A
và B, độ dài đoạn thẳng AB bằng
A. 2
√

43.

B.

√

43.

C. 2
√

13.

D.

√

13.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Lời giải.

Do A ∈ d1, suy ra A(1+ 2a;−3+ 4a;3a) và B ∈ d2, suy ra
B(b;2+ b;−4+ 3b).
Ta có−→
MA = (2a−3;4a−9;3a−4);−→
MB = (b−4;b−4;3b−8).
Do điểm M,A,B thẳng hàng nên ∃k ̸= 0 sao cho−→
MA = k·−→
MB

Từ đó ta có hệ phương trình








2a−3 = k ·(b−4)(1)

4a−9 = k ·(b−4)(2)

3a−4 = k ·(3b−8).(3)

Từ (1),(2) suy ra 2a−3 = 4a−9 ⇔ a = 3.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

Thay vào (2),(3) ta có hệ phương trình

�

k(b−4) = 3
k(3b−8) = 5⇔
�

b = 1
k = −1.

Từ đó suy ra A(7;9;9);B(1;3;−1). Vậy AB = 2
√

43.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Câu hỏi 46.
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m sao cho đồ thị hàm
số y =
��2x4 −4(m−1)x2 −m2 + 3m−2
�� có đúng 5 điểm cực
trị. Số giá trị nguyên của m thỏa mãn m ∈ [−2023;2023] ∩ S
là
A. 2022.

B. 2021.

C. 4040.

D. 4041.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Lời giải.

Hàm số y = f (x) = 2x4− 4(m − 1)x2− m2+ 3m − 2 là hàm
trùng phương với hệ số a = 2 > 0, nên đồ thị hàm số y =
��2x4 −4(m−1)x2 −m2 + 3m−2
�� có 5 điểm cực trị khi và chỉ
khi hàm số y = f (x) có 3 cực trị và giá trị cực đại bé hơn hoặc
bằng 0.

Suy ra

�

m > 1

f (0) = −m2+ 3m−2 ≤ 0⇔










m > 1
�

m ≥ 2
m ≤ 1

⇔ m ≥ 2.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

Vì m ∈ [−2023;2023]∩S và m ∈ Z nên suy ra m ∈ {2;3;4...;2023}.
Vậy ta có 2022 phần tử thỏa mãn yêu cầu bài ra.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Câu hỏi 47.
Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương a ≤ 2023 sao cho tồn tại
số thực x thỏa mãn

x(lna+ ex) ≤ ex(1+ ln(xlna))?

A. 2008.

B. 2005.

C. 2007.

D. 2006.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Lời giải.

Điều kiện xác định








x > 0
a > 1
a ∈ N.

Bất phương trình đã cho tương đương với x · lna + x · ex≤
ex+ ex·ln(xlna).
Đặt t = ln(xlna) ⇔ et= x·lna. Với t ∈ R.
Khi đó, bất phương trình trở thành

et+ x·ex≤ ex+ ex·t ⇔ et−x+ x ≤ 1+ t.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

Đặt u = t −x suy ra eu≤ 1+ u ⇔ eu−1−u ≤ 0(1).
Xét hàm số f (u) = eu−1−u; f′(u) = eu−1.

u

f′(u)

f (u)

−∞

0

+∞

−

0

+

+∞+∞

0

+∞+∞

Từ bảng biến thiên suy ra f (u) ≥ 0 với mọi u nên (1) ⇔ u =
0 ⇔ t = x.
Khi đó ex= xlna ⇔ lna =ex

x.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

Xét hàm số g(x) =ex

x; g′(x) = ex(x−1)

x2
.

x

g′(x)

g(x)

0

1

+∞

−

0

+

e

+∞+∞

Bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi lna ≥ e ⇔
a ≥ ee≈ 15,15.
Vậy a ∈ {16;17;...;2023} nên có 2008 giá trị thỏa mãn yêu
cầu bài toán.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Câu hỏi 48.

Cho hàm số y =ax+ b

cx+ d(a·c ̸= 0) có đồ thị là đường cong

(C) như hình vẽ dưới đây. Gọi ∆ là tiếp tuyến của (C) tại điểm

có hoành độ x = −1 và (C′) là đồ thị hàm số y =
����
ax+ b
cx+ d

����.

Đặt S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C′) và
hai trục tọa độ Ox, Oy; S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

(C′), ∆ và đường thẳng y = 1. Khi đó tỷ sốS1

S2

thuộc khoảng

nào sau đây?

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

x

y

O

−1

123

1

2

3

A. (1;2).

B. (3;5).

C. (0;1).

D. 8;9).

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Lời giải.

Từ đồ thị hàm số, ta có












−d

c= 1

a
c= 1

y(−1) = 0

⇔












−d

c= 1

a
c= 1

b−a = 0

⇔ a =

b = c = −d.

Ta chọn a = 1, khi đó (C): y = f (x) =x+ 1

x−1.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

Khi đó

S1 =

0�

−1

����
x+ 1
x−1

����dx = −

0�

−1

x+ 1
x−1dx = −

0�

−1

�
1+
2

x−1

�
dx = −(x+ 2ln|x−1|)

���
−1

0= 2ln2−1.

Ta có y′=
−2

(x−1)2, suy ra y′(−1) = −1

2.

Khi đó (∆) : y = −1

2(x+ 1) + 0 = −1

2x− 1

2.

Diện tích S2 là diện tích giới hạn bởi (C′), đường thẳng ∆ và
đường thẳng y = 1.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

x

y

O

−1

123

1

2

3

Diện tích S3 là diện tích giới hạn bởi đường thẳng ∆, đường
thẳng x = −1 và đường thẳng y = 1.
Diện tích S4 là diện tích giới hạn bởi đường thẳng (C′), đường
thẳng x = −1 và đường thẳng y = 1.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

Ta có

S2 = S3+S4 =1

2·2·1+1−S1 = 1+1−(2ln2−1) = 3−2ln2.

Vậy tỷ sốS1

S2
=2ln2−1

3−2ln2≈ 0,239.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Câu hỏi 49.
Trên hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình
x+y+z = 2 và mặt cầu (S) có phương trình x2+y2+z2= 2.
Gọi điểm M (a;b;c) thuộc giao tuyến của mặt phẳng (P) và
mặt cầu (S). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. minc ∈ (−1;1).

B. minb ∈ [1;2].
C. maxa = minb.

D. maxc ∈
�√

2;2
�
.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Lời giải.

Điểm M (a;b;c) thuộc giao tuyến của (P) và (S) nên ta có
�

a+ b+ c = 2

(1)

a2+ b2+ c2= 2

(2)

Từ (1) và (2) ta có

�

a+ b = 2−c

a2+ b2= 2−c2 ⇔ (a+ b)2 − 2ab =

2−c2.
Do đó

(2−c)2−2ab = 2−c2⇔ c2−4c+4−2ab = 2−c2⇔ 2c2−4c+2 = 2ab ⇔ ab = c2−2c+1.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

Mặt khác

(a+b)2≥ 4ab ⇔ (2−c)2≥ 4(c2−2c+1) ⇔ 3c2−4c ≤ 0 ⇔ 0 ≤ c ≤4

3.

Vậy minc = 0 ∈ (−1;1).

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Câu hỏi 50.
Cho hai số phức z, w thỏa mãn |z+ 2w| = 3, |2z+ 3w| = 5 và
|z+ 3w| = 4. Tính giá trị biểu thức P = z·w+ z·w.
A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

� Lời giải.

Đặt |z|2= a, |w|2= b với a;b ≥ 0.
Ta có

|z+ 2w| = 3 ⇔ (z+ 2w)(z+ 2w) = 9 ⇔ z·z+2(z·w+ z·w)+4w·w = 9.

Suy ra a+ 2P+ 4b = 9.

|2z+ 3w| = 5 ⇒ (2z+ 3w)(2z+ 3w) = 25 ⇒ 4z·z+6(z·w+ z·w)+9w·w = 25.

Suy ra 4a+ 6P+ 9b = 25.

|z+ 3w| = 4 ⇒ (z+ 3w)(z+ 3w) = 16 ⇒ z·z+3(z·w+ z·w)+9w·w = 16.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23

Suy ra a+ 3P+ 9b = 16.

Vậy ta có hệ phương trình sau








a+ 2P+ 4b = 9
4a+ 6P+ 9b = 25
a+ 3P+ 9b = 16

⇔








a = 1
P = 2
b = 1.

Do đó P = 2.

Toán 12 (GV: Nguyễn Phúc Đức)

Ôn tập học kỳ 2

Năm học: 2022-2023

23 / 23