Урок без названия

Работу выполнила : Зарипова Евдокия
Фанилевна – студентка 4-го курса ЕИКФУ

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ.
ДВУГРАННЫЙ УГОЛ.

Теория

Определение: Двугранным
углом называется фигура,
образованная прямой а и
двумя полуплоскостями с
общей границей а, не
принадлежащими одной
плоскости.

а

Теория

D

E

Р
К

О

𝑷𝑶 ⊥ 𝑫𝑬, 𝑲𝑶 ⊥ 𝑫𝑬 ⟹
∠𝑷𝑶𝑲- линейный угол
двугранного угла
PDEK

Углом между двумя
пересекающимися
плоскостями
называется
линейный угол
двугранного угла.

Теория

А

В

N

М

S

X

F
Угол SFX – линейный угол
двугранного угла

Двугранный угол АВNМ, где ВN –
ребро, точки А и М лежат в гранях
двугранного угла

Теория

Угол между пересекающимися
плоскостями можно вычислить:

4) Используя ключевые задачи;

3) Используя координатно –
векторный метод;

1) Как угол между прямыми, лежащими в
этих плоскостях и перпендикулярными к
линии их пересечения;

2) Как угол треугольника, если удается
включить линейный угол в некоторый
треугольник;

Устно

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – равнобедренный.

𝐀𝐂 ⊥ 𝐁𝐌 ⟹ 𝐀𝐂 ⊥ 𝐍𝐌 (по теореме о трѐх
перпендикулярах)

А

С

В

N

перпендикуляр

проекция

К

M

Угол ВMN – линейный угол двугранного угла ВАСК

Теорема о трѐх перпендикулярах:

если прямая, принадлежащая плоскости,
перпендикулярна проекции наклонной к
этой плоскости, то она перпендикулярна и

самой наклонной.

Устно

А

В

С

Построить линейный угол двугранного угла ВАСК.
Треугольник АВС – прямоугольный.

∠𝑩𝑪𝑵– линейный угол двугранного угла ВАСК

N

Викторина

Полуплоскости, образующие двугранный угол,
называются…

Фигура, образованная прямой и двумя полуплоскостями с общей границей , не принадлежащими одной плоскости, называется ....

Прямая a – общая граница полуплоскостей –
называется ..... двугранного угла.

Градусной мерой двугранного угла называется градусная
мера его .....

Двугранным углом называется фигура, образованная
прямой и двумя плоскостями, пересекающимися по этой прямой.
двумя лучами, выходящими из одной точки прямой, которая является общей границей двух полуплоскостей.
прямой и двумя полуплоскостями, не лежащими в одной плоскости, с общей границей по этой прямой.
двумя лучами, выходящими из одной точки.

MN – ребро двугранного угла. Точки А и В лежат в разных гранях
двугранного угла (см. рисунок). Найдите величину двугранного угла.

Fill in the Blank

Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются…

Решаем

№ 1

В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите
тангенс угла между плоскостями АДД1 и
ВДС1 .

Дано:
АВСДА𝟏В𝟏С𝟏Д𝟏 - куб,
АВ = 𝟏.
Найти: 𝐭𝐠∠ АДД𝟏; ВДС𝟏 =?
Решение:


Задача окажется значительно
проще, если расположить куб
иначе!!!

D

D1

А

А1

В

В1

С

С1

1

1

1

1

Решаем

№ 1

В единичном кубе АВСDА1В1С1D1 найдите
тангенс угла между плоскостями АDD1 и
ВDС1 .

Дано:
АВСDА1В1С1D1- куб,
АВ = 1.
Найти: tg∠ АDD1; ВDС1 =?
Решение:

D

D1

А

А1

В

В1

С

С1

1

1

1

О

1)

𝑨𝑫𝑫𝟏 ∥ 𝐁𝐂𝑪𝟏искомый
угол равен углом между
плоскостями ВСС1 и ВDС1 .

2)

𝑩𝑪𝑪𝟏 ∩ 𝑩𝑫𝑪𝟏 = 𝑩𝑪,

𝑶𝑪 ⊥ 𝑩𝑪𝟏,
𝑶𝑫 ⊥ 𝑩𝑪𝟏,

⟹ ∠𝑫𝑶𝑪 – искомый.
3) 𝒕𝒈∠𝑫𝑶𝑪 =

𝑫𝑪
𝑪𝑶=

𝑫𝑪
𝑪𝑩𝟏

𝟐

=

𝟐𝑫𝑪
𝑪𝑩𝟏

4) 𝑪𝑩𝟏 =

𝑪𝑪𝟏

𝟐 + 𝑪𝟏𝑩𝟏

𝟐 =
𝟏 + 𝟏 =

𝟐

5) 𝒕𝒈∠𝑫𝑶𝑪 =

𝟐∙𝟏

𝟐=

𝟐

Ответ: 𝟐

Самостоятельно.

№ 2

В прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1,
у которого АВ = 6, ВС = 6, СС1 = 4, найдите тангенс
угла между плоскостями АСD1 и А1В1С1.

1) Плоскость AВС параллельна
плоскости А1В1С1,  искомый
угол равен углом между
плоскостями АСD1 и А1В1С1 .

линейный угол

D

D1

А

А1

В

В1

С

С1

4

4

6

6

6

6

О
23

Ответ:8

3

(

)(

)

-













^

^

=



1

1

1

DОD

АС

DО

АС

О

D

АС

С

АD

АВС

СПАСИБО ЗА
ВНИМАНИЕ!