apa yaa

6

BAB II

LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dijelaskan mengenai graf dan istilah-istilah yang digunakan

dalam graf, matrik, representasi graf dalam matriks, cara kerja Algoritma Floyd-

Warshall untuk menentukan rute terpendek, serta kerangka pikiran dalam penelitian

ini

2.1.Graf

Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai istilah-istilah yang digunakan

dalam graf serta dijelaskan mengenai jenis-jenis graf jika digolongkan

berdasarkan kriteria tertentu.

Definisi 2.1.1. (Munir, 2010:356)

Diberikan suatu himpunan tak kosong 𝑉 = { 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 ⋯𝑣𝑛} merupakan

himpunan titik dan 𝐸 = { 𝑒1, 𝑒2, 𝑒3 ⋯𝑒𝑛} merupakan himpunan sisi yang

menghubungkan sepasang titik. Suatu Graf 𝐺 didefinisikan sebagai pasangan

himpunan (𝑉, 𝐸) dengan notasi 𝐺 = (𝑉, 𝐸) merupakan himpunan tak kosong.

Contoh 2.1.1

Gambar 2.1.1 merupakan gambar graf G(V,E), A, B, Cdan Dmerupakan

himpunan titik pada graf G sedangkan e1, e2, e3 dan e4 merupakan himpunan sisi

pada graf.

e4
e3
e2

e1

D

C

B

A

Gambar 2.1.1 Graf G

• G

7

Definisi 2.1.2. (Suryadi, 1996:16)

Order dalam sebuah graf adalah banyaknya titik yang merupakan anggota

dari himpunan V, sedangkan Size dalam sebuah graf adalah banyaknya sisi

yang merupakan anggota dari himpunan E.

Contoh 2.1.2.

Pada contoh 2.1.1. Graf G memiliki 3 titik yaitu {A, B, C, D} sehingga

order darigraf 𝐺 adalah 4, dan memiliki 4 sisi yaitu {𝑒1,𝑒2,𝑒3,𝑒4} sehingga size

dari graf 𝐺 adalah 4.

Definisi 2.1.3. (Yaya, 2020:245)

Sisi yang menghubungkan sebuah titik dengan titik itu sendiri disebut

Loop. Sedangkan dua buah sisi yang menghubungkan dua titik yang sama

disebut Sisi Ganda.

Contoh 2.1.3.

Perhatikan gambar berikut !

Pada contoh 2.1.3. sisi v4 menghubungkan titik A dengan dirinya sendiri,

maka sisi v4 disebut sebagai loop. Kemudian, sisi v2 dan sisi v3 menghubungkan

titik B dengan titik C, maka sisi v2 dan sisi v3 disebutsebagai sisi ganda.

A

B

C

v1

v2

v3

v4

Gambar 2.1.3

8

Definisi 2.1.4. (Munir, 2010:357)

Berdasarkan ada atau tidaknya gelang atau sisi ganda, graf dapat

dibedakan menjadi 2 jenis:

1.Graf Sederhana (Simple Graph), adalah graf yang tidak memiliki gelang

atau sisi ganda.

2.Graf tak-sederhana (Unsimple Graph), adalah graf yang memiliki gelang

atau sisi ganda. Terdapat dua macam graf tak-sederhana, yaitu graf ganda

dan graf semu.

a.Graf ganda, adalah graf yang mengandung sisi ganda

b.Graf semu, adalah graf yang mengandung gelang

Contoh 2.1.3

Definisi 2.1.5. (Munir, 2010:358)

Berdasarkan orientasi arah pada sisi, graf dibedakan menjadi 2 jenis:

1.Graf tak berarah (undirected graph), adalah graf yang sisinya tidak

mempunyai orientasi arah.

2.Graf berarah (directed graph atau digraph), adalah graf yang setiap

sisinya diberikan arah

v1
v1

v2
v1

v3
v1

v4
v1

(a). Graf Sederhana

(b). Graf Ganda

9

Contoh 2.1.4.

2.2.Matriks

Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai istilah-istilah yang digunakan

dalam matriks.

Definisi 2.2.1 (Howard Antoh, 1991:22)

Sebuah matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-

bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam

matriks.

Ukuran dalam matriks dinyatakan dengan banyaknya baris dan banyaknya

kolom. Matriks dinyatakan menggunakan huruf besar, sedangkan entri-entri

dalam matriks dinyatakan menggunakan huruf kecil.

Elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j dari sebuah matriks 𝑀 dapat

dinyatakan sebagai 𝑚𝑖𝑗. Sebuah matriks 𝑀 berukuran 𝑚 × 𝑛 dituliskan

sebagai berikut :

𝐴𝑚×𝑛 =

[

𝑎11
𝑎12
𝑎13

𝑎21
𝑎22
𝑎23

𝑎31
𝑎32
𝑎33

⋯
⋯
⋯

𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
𝑎3𝑛

⋮ ⋮

⋮

⋮⋮

𝑎𝑚1
𝑎𝑚2
𝑎𝑚3⋯𝑎𝑚𝑛]

Contoh 2.2.1
Perhatikan matriks berikut !

𝑀 = [

34

56

78

]

(a). Graf Tak Berarah

(b). Graf Berarah

10

Matriks M pada contoh 2.2.1 mempunyai 3 baris dan 2 kolom, sehingga

matriks M merupakan matriks berukuran 3 × 2 dengan entri-entri matriks :

𝑚11 = 3

𝑚12 = 4

𝑚21 = 5

𝑚31 = 7

𝑚22 = 6

𝑚32 = 8

2.3.Matriks Hubung

Definisi 2.3.1. (Siang 2004:272

Sebuah graf berarah dapat direpresentasikan menggunakan sebuah

matriks. Menurut Siang (2004:233), menyatakan graf sebagai suatu matriks

dapat mempermudah perhitungan-perhitungan yang diperlukan. Matriks yang

digunakan untuk merepresentasikan sebuah graf adalah Matriks Hubung.

Suatu graf berarah yang terdiri dari 𝑛 buah titik dapat membentuk matriks bujur

sangkar 𝑛 × 𝑛. Matriks ini merepresentasikan bobot dari seluruh sisi yang ada

pada graf dengan 𝑤𝑖,𝑗adalah elemen-elemen dari matriks tersebut. Jika

grafnya tak berarah, maka matriks hubung yang terbentuk adalah matriks

simetris (𝑤𝑖,𝑗 = 𝑤𝑗,𝑖 , ∀𝑖,𝑗). Jika bobot dari titik 𝑣𝑖 yang merupakan titik asal ke

titik 𝑣𝑗 yang merupakan titik tujuan disimbolkan dengan 𝑤𝑖,𝑗 , bobot

𝑤𝑖,𝑗mempunyai tiga kemungkinan nilai (Setiawan, dkk, 2017), yaitu:

𝑤𝑖,𝑗

(0) = {

0

𝑏𝑜𝑏𝑜𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑖

∞

i = j dari titik vi ke titik vi itu sendiri

i ≠ j dan titik vi terhubung dengan titik vj

i ≠ j dan titik vi tidak terhubung dengan titik vj

Contoh 2.3.1

Perhatikan gambar dibawah ini !

11

Untuk membuat matriks yang merepresentasikan graf pada contoh 2.3.1 ,

langkah pertama yang harus dilakukan adalah membuat tabel yang

menyatakan bobot pada masing-masing sisi graf tersebut.

Pada contoh 2.3.1. sisi A terhubung dengan dirinya sendiri, maka bobot

pada sisi Abernilai 0. Kemudian, sisi A dan sisi Bbernilai 3. Sisi A dan sisi D

tidak terhubung sehingga bobot sisi tersebut adalah ∞. Perhatikan gambar pada

contoh 2.3.1 untuk memasukkan nilai pada masing-masing sisi graf.

Tabel 2.3.1 Tabel bobot antara masing-masing titik

A B C D E F G H

A 0 3 4

∞∞∞∞∞

B 3 0 2 3

∞∞∞∞

C 4 2 2 2 13

∞∞∞

D

∞3 2 0 2 12 6

∞

E

∞∞13 2 0

∞3

∞

F

∞∞∞12

∞0 3 8

G

∞∞∞6 3 3 0 19

H

∞∞∞∞∞8 19 0

Pada tabel 2.3.1 menyatakan bobot hubungan antara masing-masing titik graf

pada contoh 2.3.1. Perhatikan bahwa titik A terhubung dengan titik B , maka

pada tabel 2.3.1, elemen tabel berasal dari baris A dengan kolom B menyatakan

bobot dari titik A ke titik B yaitu 3. Untuk dua titim yang tidak dihubungkan

dengan sisi, maka bobotnya ditulis sebagai suatu bilangan yang sangat besar

yaitu ∞ artinya tidak ada sisi langsung yang menghubungkan kedua titik

tersebut.

Setelah membuat tabel yang menyatakan bobot pada masing-masing sisi graf,

selanjutnya adalah membuat matriks 𝑊(0) sebagai berikut :

12

𝑊(0)=

[





034

302

4
∞
∞
∞
∞
∞

2
3
∞
∞
∞
∞

2
2
13
∞
∞
∞

∞∞∞

3∞∞

2
0
2
12
6
∞

13
2
0
∞
3
∞

∞
12
∞
0
3
8

∞∞

∞∞

∞∞

6∞

3∞

38

019

190]

Keterangan :

𝑊(0)= matriks keterhubungan graf berlabel (berarah atau tidak berarah) pada

mula-mula

𝑤𝑖,𝑗

(0)= entri matriks keterhubungan graf berlabel (berarah atau tidak berarah)

pada mula-mula

2.4.Path Minimum

Penerapan graf berarah dan berlabel yang sering digunakan adalah mencari

jalur terpendek antara 2 titik. Selain mencari jalur terpendek, path minimun

juga dapat digunakan untuk mencari jalur tercepat. Metode dalam path

minimun yang dapat digunakan dalam mencari jalur terpendek yaitu algoritma

djikstra dan algoritma floyd-warshall.

2.4.1. Algoritma Dijkstra

Misalkan 𝐺 adalah graf berlabel (berarah maupun tidak berarah) dengan

titik-titik 𝑉(𝐺) = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, . . . 𝑣𝑛} dan jalur terpendek yang dicari dimulai

dari 𝑣1 sampai 𝑣𝑛. Algoritma Dijkstra dimulai dari 𝑣𝑛. Dalam iterasinya,

Algoritma Dijkstra akan mencari satu titik yang terhubung dengan 𝑣1 dan

memiliki jumlah bobot yang terkecil diantara titik yang lain. Selanjutnya titik

yang terpilih pada setiap iterasi dipisahkan dan titik tersebut tidak diperhatikan

lagi pada iterasi selanjutnya.

Misalkan 𝑉(𝐺) = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, . . . 𝑣𝑛} dan 𝐿 merupakan Himpunan

titik-titik Є 𝑉(𝐺) yang sudah terpilih dalam jalur path terpendek, 𝐷(𝑗) =

Jumlah bobot path terkecil dari 𝑣1ke 𝑣𝑗, 𝑤(𝑖,𝑗) = Bobot garis dari titik 𝑣1ke titik

13

𝑣𝑗, dan 𝑤 ∗(𝑖,𝑗)= Jumlah bobot path terkecil dari 𝑣1ke 𝑣𝑗, maka langkah kerja

Algoritma Dijkstra menurut Jong Jek Siang (2011: 299) adalah sebagai berikut:

1.Menentukan 𝑣𝑎 sebagai titik awal dan 𝑣𝑛 sebagai titik akhir.

2.Menentukan tabel representasi dari graf

3.Membuat matriks hubung .

4.Untuk iterasi pertama, lakukan:

a.Inisialisasi :

•𝐿 = { }

•𝑉(𝐺) = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, . . . 𝑣𝑛}

b.Titik awal adalah 𝑣𝑎 maka lakukan D( 𝑣𝑗) = { 0, 𝑗 = 𝑎

∞, 𝑗 ≠ 𝑎 , ∀ 𝑣𝑗 ∈

𝑉(𝐺)

c.∀ 𝑣𝑗 ∈ 𝑉(𝐺) tentukan D( 𝑣𝑗)terkecil, maka titik permanen 𝑣𝑝

adalah 𝑣𝑗

d.𝐿 = 𝐿 ∪ { 𝑣𝑝 }

e.Jika 𝑣𝑛∈ L, maka iterasi berhenti, jika 𝑣𝑛 ∉ L maka iterasi

berlanjut

5.Untuk iterasi kedua dan seterusnya, lakukan:

a.Inisialisasi :

•𝐿 = 𝐿

•𝑉(𝐺) = V(G) – 𝑣𝑝

b.∀ 𝑣𝑗 ∈ 𝑉(𝐺) , lakukan

D( 𝑣𝑗) = min(𝐷( 𝑣𝑗), 𝐷( 𝑣𝑝) +

𝑊(𝑝, 𝑗) )

c.∀ 𝑣𝑗 ∈ 𝑉(𝐺) tentukan D( 𝑣𝑗)terkecil, maka titik permanen 𝑣𝑝

adalah 𝑣𝑗

d.𝐿 = 𝐿 ∪ { 𝑣𝑝 }

e.Jika 𝑣𝑛∈ L, maka iterasi berhenti, jika 𝑣𝑛 ∉ L maka iterasi

berlanjut

6.Tuliskan untuk pada setiap iterasi diatas kedalam tabel.

14

7.Tentukan lintasan terpendeknya dengan mendaftar titik permanen

pada tabel diatas mulai dari iterasi terakhir hingga iterasi pertama.

Perhatikan titik permanen pada iterasi ke- , apabila pada iterasi ke-

mengalami penurunan dibandingkan pada iterasi sebelumnya, maka

titik permanen pada iterasi ke- tersebut merupakan jalur yang harus

dilalui.

8.Panjang Lintasan dari ke adalah pada iterasi terakhir

9.Interpretasi

2.4.2. Algoritma Floyd-Warshall

Algoritma Floyd-Warshall adalah suatu metode yang melakukan

pemecahan masalah dengan memandang solusi yang akan diperoleh sebagai

suatu keputusan yang saling terkait. Algoritma Floyd-Warshall memiliki input

graf berarah dan berbobot (V,E), yang berupa daftar titik (node/titik V) dan

daftar sisi (sisi E). Bobot garis e dapat diberi simbol w(e). Jumlah bobot sisi-

sisi pada sebuah jalur adalah total bobot jalur tersebut. Sisi pada E

diperbolehkan memiliki bobot negatif, akan tetapi tidak diperbolehkan bagi

graf wij untuk memiliki siklus dengan bobot negatif. Algoritma ini menghitung

bobot terkecil dari semua jalur yang menghubungkan sebuah pasangan titik,

dan melakukannya sekaligus untuk semua pasangan titik.

Dalam menentukan lintasan terpendek dengan algoritma Floyd-

Warshall memulai iterasi dari titik awalnya kemudian memperpanjang lintasan

dengan mengevaluasi titik demi titik hingga mencapai titik tujuan dengan

jumlah bobot yang paling minimum. Algoritma Floyd-Warshall untuk mencari

lintasan terpendek adalah sebagai berikut (Widya & Andrasto, 2016):

1.𝑊 = 𝑊0; 𝑍 = 𝑍0

2.Untuk 𝑘 = 1 hingga 𝑛, lakukan:

Untuk 𝑖 = 1 hingga 𝑛, lakukan:

Untuk 𝑗 = 1 hingga 𝑛, lakukan:

a.Jika 𝑊[𝑖,𝑗] > 𝑊[𝑖,𝑘] + 𝑊[𝑘,𝑗] maka tukar 𝑊[𝑖,𝑗] dengan 𝑊[𝑖,𝑘] +

𝑊[𝑘,𝑗] . Ganti 𝑍𝑖,𝑗 dengan 𝑍𝑖,𝑘

15

b.Jika 𝑊[𝑖,𝑗] ≤ 𝑊[𝑖,𝑘] + 𝑊[𝑘,𝑗] maka 𝑊[𝑖,𝑗] tidak perlu ditukar

dengan 𝑊[𝑖,𝑘] + 𝑊[𝑘,𝑗]

3.𝑊∗ = 𝑊.

Keterangan:

𝑊0 = matriks keterhubungan graf berarah berbobot awal

𝑊∗ = matriks keterhubungan minimal

𝑊[𝑖,𝑗] = lintasan terpendek dari titik 𝑣𝑖 ke 𝑣𝑗

Contoh 2.4 :

Carilah path terpendek dari titik 𝑣1 ke 𝑣7 dalam graf berarah berlabel !

Penyelesaian

Membuat Tabel yang menyatakan bobot masing-masing sisi graf

Tabel 2.4. Tabel bobot antara masing-masing titik

𝑣1

𝑣2

𝑣3

𝑣4

𝑣5

𝑣6

𝑣7

𝑣1

0

3

9

∞

∞

∞

∞

𝑣2

∞

0

∞

7

1

∞

∞

𝑣3

∞

2

0

7

∞

∞

∞

𝑣4

∞

∞

∞

0

∞

2

8

𝑣5

∞

∞

4

5

0

9

∞

𝑣6

∞

∞

∞

∞

∞

0

4

𝑣7

∞

∞

∞

∞

∞

∞

0

16

Membuat matriks hubung yang merepresentasikan graf

W =

[





039

∞0∞

∞20

∞∞∞∞

71∞∞

7∞∞∞

∞∞∞

∞∞4

∞
∞

∞
∞

∞
∞

0∞28

509∞

∞
∞

∞
∞

0
∞

4
0]

Mula-mula 𝐿 = { } dan 𝑉 = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, … 𝑣7}

𝐷𝑗 merupakan jumlah bobot terkecil dari 𝑣1 menuju 𝑣𝑗. Perhatikan matrik W,

untuk mencari 𝐷2 maka dilihat dari 𝑣1 menuju 𝑣2. Nilai dari 𝑣1 menuju 𝑣2=

3, maka nilai 𝐷2 = 𝑊(1,2) = 3. Lakukan langkah yang sama untuk

mencari 𝑣2, 𝑣3, … 𝑣7

Menentukan titik terkecil yaitu 𝑣2

𝐿 = 𝐿 ∪ {𝑣𝑝} = { } ∪ {𝑣2} = {𝑣2}

𝑉 − 𝐿 = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, … 𝑣7} − {𝑣2} = {𝑣3, 𝑣4, 𝑣5, 𝑣6, 𝑣7 }

𝑘 = 2

Melakukan Iterasi kedua dan seterusnya

•untuk 𝑗 = 3:

𝐷(𝑗) = 𝐷(3)= 9 ; 𝐷(𝑘) + 𝑊(𝑘, 𝑗) =𝐷(2) + 𝑊(2,3) = 3 + ∞ =

∞. Oleh karena D(3) ≥ D(2) + W(2,3), maka harga D(3) tetap = 9

•untuk 𝑗 = 4 :

𝐷(𝑗) = 𝐷(4) = ∞ ; 𝐷(𝑘) + 𝑊(𝑘, 𝑗) =𝐷(2) + 𝑊(2,4) = 3 +

7 = 10. Oleh karena D(4) > D(2) + W(2,4), maka harga D(4) diubah

menjadi 10. Artinya untuk mencapai titik 𝑣4dari 𝑣1, jalur melalui 𝑣2,

•𝐷(2) = 𝑊(1,2) = 3

•𝐷(3) = 𝑊(1,3) = 9

•𝐷(4) = 𝑊(1,4) = ∞

•𝐷(5) = 𝑊(1,5) = ∞

•𝐷(6) = 𝑊(1,6) = ∞

•𝐷(7) = 𝑊(1,7) = ∞

17

yaitu 𝑣1 𝑣2 𝑣4(𝐷(2) + 𝑊(2,4)) memiliki bobot lebih kecil

dibandingkan jalur langsung 𝑣1𝑣4 (D(4)).

•untuk 𝑗 = 6

𝐷(𝑗) = 𝐷(6) = ∞ ; 𝐷(𝑘) + 𝑊(𝑘, 𝑗) = 𝐷(2) + 𝑊(2,6) = 3 +

∞ = ∞. Oleh karena 𝐷(6) > 𝐷(2) + 𝑊(2,6) maka harga D(6)

tetap seperti sebelumnya, yaitu ∞.

•untuk 𝑗 = 7

𝐷(𝑗) = 𝐷(7) = ∞ ; 𝐷(𝑘) + 𝑊(𝑘, 𝑗) = 𝐷(2) + 𝑊(2,7) = 3 +

∞ = ∞. Oleh karena 𝐷(7) > 𝐷(2) + 𝑊(2,7) maka harga D(7)

tetap seperti sebelumnya, yaitu ∞.

Langkah tersebut diulang-ulang terus hingga 𝑣7 ∈ 𝐿

Oleh karena 𝑣𝑛 = 𝑣7 ∈ 𝐿 , maka iterasi dihentikan. Path terendek dari

𝑣1 𝑘𝑒 𝑣7adalah 15 dengan jalur yang dibaca mundur sebagai berikut :

Pada titik terakhir (𝑣7) diperoleh penurunan jarak, yaitu dari 17 ke 15 maka

titik yang terpilih pada indeks 𝑘 = 4 inerupakan jalur path terpendek.

Pada iterasi dengan indeks 𝑘 = 6, diperoleh penurunan jarak pada kolom

𝐷(7) dari 17 ke 15. Itu berarti titik yang terpilih pada baris tersebut (𝑣6)

adalah jalur path (jalur𝑣6 → 𝑣7).

Berikutnya, pada kolom 𝐷[6] diperoleh penurunan jarak dari 13 ke 11. Itu

berarti titik pada indeks 𝑘 = 4, 𝑣4 adalah jalur path (jalur𝑣4 → 𝑣6 → 𝑣7).

Pada kolom 𝐷[4] tidak terjadi penurunan jarak (dari 9 tetap 9). Itu berarti

bahwa titik pada indeks 𝑘 = 3 (𝑣3) bukan jalur path. Naik 1 baris di atasnya,

terjadi penurunan jarak dari 10 𝑘𝑒 9, yaitu pada baris yang sesuai dengan

indeks 𝑘 = 5. Jadi, 𝑣5 adalah jalur path (jalur adalah 𝑣5 → 𝑣4 → 𝑣6 → 𝑣7).

Pada kolom 𝐷[5] terjadi penurunan jarak dari ∞ ke 4. Baris tersebut sesuai

dengan indeks 𝑘 = 2. Jadi, 𝑣2 adalah jalur path (jalur 𝑣2 → 𝑣5 → 𝑣4 → 𝑣6 →

𝑣7). Jadi, path terpendek adalah𝑣1 → 𝑣2 → 𝑣5 → 𝑣4 → 𝑣6 → 𝑣7 dengan total

panjang = 15. Hasil akhir dari algoritrna Dijkstra adalah path terpendek dari

18

titik 𝑣1 sernua titik lain. Untuk Mencari path terpendek dari semua titik,

algoritrna Dijkstra dapat diulang-ulang sebanyak 𝑛 kali yang dimulai dari

semua titik.

2.5.Python

Python merupakan bahasa pemrograman yang bersifat object-oriented.

Python dapat digunakan untuk membuat software aplikasi dalam bidang sains

dan teknik dengan efisien dan elegan.

Python memiliki kelebihan lain yang sangat penting dibanding bahasa

pemrograman yang terdahulu:

a.Python merupakan open-source software, yang artinya ia dapat diperoleh

secara gratis. Bahkan python sudah otomatis terinstall di Linux.

b.Python tersedia pada semua operating systems(OS) terkenal seperti Linux,

Unix, Win-dows, dan MacOS. Suatu script python yang ditulis pada OS

tertentu, dapat dijalankan di OS lain tapa ada modifikasi sedikitpun

c.Python lebih mudah dipelajari sekaligus lebih mudah "‘dibaca"’

dibandingkan dengan bahasa pemrograman lainnya.

d.Python dan program ekstensinya mudah diinstall.

e.Python berdiri di atas landasan pondasi Java and C++. Hal-hal

seperticlasses,methods,inheritance, yang kerapkali diimplementasikan

pada bahasa yang bersifatobject-oriented, juga dapat diimplementasikan

di python.

2.6.Penelitian Yang Relevan

Penelitian mengenai pencarian jalur terpendek menggunakan algoritma

Floyd-Warshall pernah dilakukan peneliti-peneliti sebelumnya dengan

berbagai permasalahan yang berbeda. Ningrum, Friska dan Andrasto (2016)

dalam penelitiannya membahas mengenai penerapan algoritma Floyd-

Warshall dalam menentukan rute terpendek pada pemodelan jaringan wisata di

kota semarang. Metode pengumpulan data yang digunkan dalam penelitian ini