Rectas y Planos

Sea $L$ una recta perpendicular a un plano que contiene a los puntos $A( 9,12,6), B(-3,15,9)$ y $C(6,3,12)$. Un vector director de $L$ corresponde a:

• $(-45,63,117)$

• $(-45,-63,117)$

• $(-25,-35,-65)$

• $(-25,35,-65)$

Considere la recta $L:3-x=y-5=\displaystyle{\frac{10-z}{2}}$ y el plano $\alpha:2x+y+z+4=0$, con certeza se puede afirmar que:

I. El ángulo que forman la recta $L$ y el plano $\alpha$ es de $\displaystyle{\frac{\pi}{6}}$.

II: La recta $L$ y el plano $\alpha$ son perpendiculares.

¿Cuáles son verdaderas?

• Solo la I.

• Solo la II.

• Ninguna.

• Ambas.

La ecuación vectorial de la recta $M$ en $\mathbb{R}^{3}$ que cumple simultáneamente las siguientes condiciones: 

\begin{itemize}

\item  La recta $M$ es paralela a los planos $\Pi_{1}$ y $\Pi_{2}$ con ecuaciones $\Pi_{1}: 9x-y=-11$ y $\Pi_{2}: x+4z=-11$.

\item  La recta $M$ contiene el punto de intersección de las rectas $L_1$ y $L_2$ con ecuaciones $L_1:\left\lbrace \begin{array}{l}

    x=t \\

    y=4+t \\

    z=13

\end{array}\right., t \in \mathbb{R}$

y $\,L_2: (x,y,z)=(9,-11,13)+s(1‚2‚0),  s\in \mathbb{R}$.

\end{itemize}

corresponde a

• $M: (x,y,z) = (15,19,13)+r \left(1,\frac{1}{9},

  -4\right)$, $r\in \mathbb{R}$

• $M: (x,y,z) = (33,37,13)+r \left(1,\frac{1}{9},

  -4\right)$, $r\in \mathbb{R}$

• $M: (x,y,z) = (33,37,13)+r \left(1,9,

  \frac{-1}{4}\right)$, $r\in \mathbb{R}$

• $M: (x,y,z) = (15,19,13)+r \left(1,9,

  \frac{-1}{4}\right)$, $r\in \mathbb{R}$

Considere en $\mathbb{R}^3$ la recta $L$ y el plano $\pi$ de ecuaciones respectivas:

$$L:\displaystyle \frac{x}{2}=\frac{1-y}{10}=z+6,\hspace{1.5cm} \pi:3x+4y-6z=1$$

Si $P$ es el punto de intersección de la recta $L$ con el plano $\pi$, y $Q=(0,7,0)$ entonces una ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos $P$ y $Q$ es 

• $\displaystyle (x,y,z)=(0,3,0)+t \left(\frac{39}{20},-\frac{37}{4},- \frac{219}{40} \right),\,\, t\in \mathbb{R}$

• $\displaystyle (x,y,z)=(0,3,0)+t \left(-\frac{39}{20},\frac{47}{4}, \frac{201}{40} \right),\,\, t\in \mathbb{R}$

• $\displaystyle (x,y,z)=(0,3,0)+t \left(\frac{39}{20},-\frac{23}{4}, \frac{279}{40} \right),\,\, t\in \mathbb{R}$

• $\displaystyle (x,y,z)=(0,3,0)+t \left(-\frac{39}{20},-\frac{35}{4},- \frac{141}{40} \right),\,\, t\in \mathbb{R}$

Si se tiene que $t\in\mathbb{R}$, un sistema de ecuaciones paramétricas de la recta $L$ que pasa por los puntos $P_1(2,4,2)$ y $P_2(-2,0,8)$ corresponde a

• $\displaystyle \begin{cases}

  x=2+2t\\

  y=4+4t\\

  z=2+2t

  \end{cases}$

• $\displaystyle \begin{cases}

  x=-2-2t\\

  y=4t\\

  z=8+2t

  \end{cases}$

• $\displaystyle \begin{cases}

  x=-4-2t\\

  y=-22\\

  z=32+42t

  \end{cases}$

• $\displaystyle \begin{cases}

  x=2-4t\\

  y=4-4t\\

  z=2+6t

  \end{cases}$

Las ecuaciones paramétricas de la recta $R$ en $\mathbb{R}^{3}$ que cumple simultáneamente las siguientes condiciones:

    $\bullet$  La recta $R$ es paralela a la recta que contiene los puntos $A(1,-4,-2)$ y $B(0,-2,1)$.

    $\bullet$  La recta $R$ contiene el punto de intersección de las rectas $L_{1}$ y $L_{2}$, donde\\

   

   

     $L_{1}:(x,y,z) = (-1,0,4+t\left(2,\displaystyle -\frac{4}{11},-1\right) $, $t \in \mathbb{R}$ \\

    

       $\displaystyle L_{2}: \frac{x-1}{4} = \frac{7(2-z)}{6}$; $y=-1$\\

    

     corresponden a:

• $R:\left\{ \begin{array}{l} x= \displaystyle \frac{2}{9}-r \\ y= -1 +2r \\ \displaystyle z=\frac{4}{5} + 3r \\ \end{array} \right.$, $r \in \mathbb{R}$

• $R:\left\{ \begin{array}{l} x= \displaystyle - \frac{2}{9}-r \\ y= 1 +2r \\ \displaystyle z=-\frac{4}{5} + 3r \\ \end{array} \right.$, $r \in \mathbb{R}$

• $R:\left\{ \begin{array}{l} x= \displaystyle \frac{9}{2}-r \\ y= -1 +2r \\ \displaystyle z=\frac{5}{4} + 3r \\ \end{array} \right.$, $r \in \mathbb{R}$

• $R:\left\{ \begin{array}{l} x= \displaystyle - \frac{9}{2}-r \\ y= 1 +2r \\ \displaystyle z=-\frac{5}{4} + 3r \\ \end{array} \right.$, $r \in \mathbb{R}$