Θεωρούμε συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη και συνεχής στο διάστημα [α , β].

Αν f΄(x) = 0 , για κάθε x $$\in$$  (α , β), τότε η f είναι σταθερή στο [α , β].

Θεωρούμε συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη στο διάστημα (α , β).

Αν f΄(x) = 0 , για κάθε x $$\in$$  (α , β), τότε η f είναι σταθερή στο (α , β).

Θεωρούμε συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη στο σύνολο R* .

Αν f΄(x) = 0 , για κάθε x $$\in$$  R* , τότε η f είναι σταθερή συνάρτηση.

Θεωρούμε συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη στο σύνολο R* .

Αν f΄(x) = 0 , για κάθε x $$\in$$ R* , τότε η f είναι σταθερή σε κάθε ένα από τα

διαστήματα (- $$\infty$$ , 0) και (0 , + $$\infty$$  ) .

Θεωρούμε συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη στο διάστημα [α , β] .

Αν f΄(x) > 0 , για κάθε x $$\in$$ (α , β), τότε η f είναι γνησίως αύξουσα

σε όλο το διάστημα [α , β].

Θεωρούμε συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη και συνεχής στο διάστημα [α , β] .

Αν f΄(x) > 0 , για κάθε x $$\in$$ (α , β), τότε η f είναι γνησίως αύξουσα

σε όλο το διάστημα [α , β].

Θεωρούμε συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη στο διάστημα (α , β) .

Αν f΄(x) > 0 , για κάθε x $$\in$$ (α , β), τότε η f είναι γνησίως αύξουσα

στο διάστημα (α , β) .

Θεωρούμε συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη στο διάστημα (α , β) .

Αν f΄(x) $$\ge$$  0 , για κάθε x $$\in$$ (α , β), τότε η f είναι γνησίως αύξουσα

στο διάστημα (α , β) .

Θεωρούμε συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη στο διάστημα (α , β) .

Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (α , β) , τότε

οπωσδήποτε f΄(x) > 0 , για κάθε x $$\in$$ (α , β) .

Θεωρούμε συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη στο R .

Κάθε σημείο x_o στο οποίο η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο, πρέπει να είναι ρίζα της παραγώγου της;

Θεωρούμε συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη στο R .

Κάθε ρίζα x_o της παραγώγου της f είναι σημείο στο οποίο η γραφική παράσταση της f έχει εφαπτομένη παράλληλη στον άξονα x΄x.

Θεωρούμε συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη στο R .

Κάθε ρίζα x_o της παραγώγου της f είναι σημείο στο οποίο η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο;

Θεωρούμε συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε διάστημα Δ .

Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε κάποιο σημείο x_o $$\in$$ Δ και

είναι παρ/μη σε αυτό, τότε οπωσδήποτε ισχύει f΄(x_o) = 0.

Θεωρούμε συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε διάστημα [α , β].

Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο σημείο α και είναι παρ/μη σε αυτό, τότε

αποκλείεται να ισχύει f΄(α) = 0.

Θεωρούμε συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη και συνεχής στο διάστημα [α , β] .

Αν η f΄ είναι γνησίως αύξουσα στο (α , β) τότε η f είναι κυρτή στο [α , β].

Θεωρούμε συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη και συνεχής στο διάστημα (α , β) .

Αν η f έχει σημείο καμπής σε κάποιο σημείο x_o $$\in$$ (α , β), τότε η f είναι οπωσδήποτε παραγωγίσιμη στο x_o.

Θεωρούμε συνάρτηση f συνεχή σε ένα διάστημα Δ και x_o ενα εσωτερικό σημείο του Δ .

Αν ο αριθμός x_o είναι ρίζα της εξίσωσης f΄΄(x) = 0 τότε το σημείο Α(x_o , f(x_o)) είναι οπωσδήποτε σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f.

Θεωρούμε συνάρτηση f η οποία είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ .

Αν (ε) : y = λx + β είναι ευθεία που εφάπτεται στη C_f , τότε οπωσδήποτε

ισχύει ότι

f(x) $$\ge$$ λx + β, για κάθε x $$\in$$ Δ.

Θεωρούμε συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση

έχει σημείο καμπής το Α(x_o , f(x_o)) .

Αν (ε) η εφαπτομένη της C_f στο Α, τότε η (ε) διαπερνά τη C_f .