DERIVADAS 12°

DERIVADAS

Mauricio Ruiz V

Catalina López C

INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS

¡Se trata de pendientes!

Recordemos

 $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{Cambio\ en\ y}{Cambio\ en\ x}$  

INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS

Se puede encontrar una pendiente media entre dos puntos.

Pero, ¿Cómo encontrar la pendiente en un punto?

Pero con las derivadas se usa una pequeña diferencia... que luego hacemos que se reduzca a cero.

DERIVACIÓN

Para encontrar la derivada de una función usamos la fórmula de la pendiente: $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$  

En el diagrama vemos los cambios así:

 $x\ cambia\ de\ x\ a\ \left[x+\Delta x\right]$  
 $y\ cambia\ de\ y\ a\ \left[f\left(x+\Delta x\right)\right]$  

DERIVACIÓN

Geométricamente, la derivada de una función $f\left(x\right)$  en un punto dado  $a$  es la pendiente de la recta tangente a $f\left(x\right)$  en el punto $a$ 

DERIVACIÓN

Sustituyendo en la fórmula de pendiente:

 $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}$  

 Finalmente se debe hacer que
 $\Delta x$  tienda a cero. 

DERIVACIÓN

Así, la pendiente de la curva y=f(x) en un punto P es el número:

 $m=\lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}\right)$  

Donde $h=\Delta x\ y\ tiende\ a\ 0$  

NOTACIÓN

"La derivada de f es igual a el límite cuando Δx tiende a cero de f(x+Δx) - f(x) sobre Δx"
 $y'=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\left(\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}\right)$  
 $f'\left(x\right)=y'=\frac{dy}{dx}$ 

Ecuación de la recta tangente

1. Calcular $f\left(x\right)$  y $f\left(x+h\right)$  

2. Calcular la pendiente  $m=\lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}\right)$  

3. Si el límite existe, encontrar la recta tangente como:  $y=y_0+m\left(x-x_0\right)$  

EJEMPLO 1

Encontrar la ecuación de la recta tangente a $f\left(x\right)=x^2+1\$  en el punto  $\left(2,\ 5\right)$ 

Ir al Idroo para ver el solución. 

Multiple Choice

La derivada de la función  $f\left(x\right)=2x^2-1$  es

•  $4x$  

•  $4$  

•  $4x^2$  

•  $2x$  

REGLAS DE DERIVACIÓN

Hay reglas que podemos seguir para encontrar muchas derivadas.

Por ejemplo:

La pendiente de un valor constante (como 3) siempre es 0

La pendiente de una línea como 2x es 2, o 3x es 3, etc. y así.

REGLAS DE DERIVACIÓN

EJEMPLOS

 $y=4x\ entonces\ \ y'=4$  
 $f\left(x\right)=5x+3\ \ \ entonces\ f'\left(x\right)=5$  
 $y=2x+4\ entonces\ \frac{dy}{dx}=2$  

EJEMPLO

DERIVADA DE UNA RAIZ

Se debe escribir como potencia y derivar de igual forma

DERIVADA DE UN PRODUCTO

DERIVADA DEL COCIENTE

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