Logaritmo

Logaritmo

Matemáticas III° A

Objetivo

Recordar el concepto y propiedades de los logaritmos

Ejercicios Resueltos

2)  $\log_3\left(\frac{1}{27}\right)=x$  

 $3^{x\ }=\left(\frac{1}{27}\right)$  
 $3^x=3^{-3}$  
   x = -3

 $Recuerda\ que:\ a^n=a^m\ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ n=m$  

Ejercicios Resueltos

3)  $\log_{ }100=x$  

 $10^x=100$  
 $10^x\ =10^2$  
   x = 2
Cuando no aparece la base se asume que es 10, es decir:
 $\ \ \log_{ }a\equiv\log_{10}a$  

Multiple Choice

Aplicando la definición de logartimo, escribe la expresión en potencia y encuentra la respuesta

 $\log_2x=3$  

•  $\log_2x=3\ \ \rightarrow\ 2^x=3$  

•  $\log_2x=3\ \Longrightarrow\ \ x^3=2\ \Longrightarrow\ x=2$  

•  $\log_2x=3\Longrightarrow\ 2^3=x\ \Longrightarrow\ x=8$  

•  $\log_2x=3\ \Longrightarrow\ 2^3=x\ \Longrightarrow\ x=6$  

Multiple Select

 $\log_x27=3$  

•  $27^3=x\ \Longrightarrow\ 19.683$  

•  $3^x=27\ \Longrightarrow\ 3^x=\ 3^3\ \Longrightarrow\ x=3$  

•  $3^{27}=x\ \Longrightarrow\ x=7.625.597.484.987$  

•  $x^3=27\ \Longrightarrow\ x^3=3^{3\ }\Longrightarrow\ x=3$  

Multiple Choice

 $\log_x\left(\frac{16}{25}\right)=2$  

•  $x^2=\frac{16}{25}\Longrightarrow\ x^2=\left(\frac{4}{5}\right)^2\ \Longrightarrow\ x=\frac{4}{5}$  

•  $2^x=\frac{16}{25}\ \Longrightarrow\ 2^{\frac{4}{5}}=\frac{16}{25}\ \Longrightarrow\ x=\frac{4}{5}$  

•  $\left(\frac{16}{25}\right)^2=x\ \Longrightarrow\ \frac{256}{625}=x$  

•  $\left(\frac{16}{25}\right)^x=2\ \Longrightarrow\ incalculable$  

Multiple Select

 $\log_x\left(\frac{16}{81}\right)=4$  

•  $4^x=\frac{16}{81}\ \Longrightarrow\ 4^2=\frac{16}{81}\ \Longrightarrow\ x=2$  

•  $x^4=\frac{16}{81}\ \Longrightarrow\ x^4=\left(\frac{2}{3}\right)^4\ \Longrightarrow\ x=\frac{2}{3}$  

•  $\left(\frac{16}{81}\right)^x=4\ \Longrightarrow\ \left(\frac{4}{9}\right)^2=2^2\ \Longrightarrow\ x=2$  

•  $\left(\frac{16}{81}\right)^4=x\ \Longrightarrow\ x=\frac{65.536}{43.046.721}$  

Recordemos

• ¿Qué es un logaritmo?

• ¿Cuáles son sus partes?

• ¿Qué pregunta me puedo hacer para saber como expresar un logaritmo de manera exponencial?

¡Excelente!

Lo hacen increíble, pero ahora veamos si comprendieron, para eso deben hacer la transformación de forma exponencial a logarítmicas.

Multiple Choice

¿Cuál de las siguientes es equivalente a  $2^5=32$  ?

•  $\log_2\left(32\right)=5$  

•  $\log_5\left(2\right)=32$  

•  $\log_{32}\left(5\right)=2$  

Multiple Choice

 $5^3=125$  

•  $\log_3\left(125\right)=5$  

•  $\log_5\left(125\right)=3$  

•  $\log_{125}\left(5\right)=3$  

¡Muy bien a Todas y Todos!

Ahora deberán transformar la forma logarítmica a exponencial

Multiple Choice

 $\log_2\left(64\right)=6$  

•  $64^2=6$  

•  $2^6=64$  

•  $64^6=2$  

Multiple Choice

 $\log_4\left(16\right)=2$  

•  $2^4=16$  

•  $16^2=4$  

•  $4^2=16$  

¡Felicitaciones!

Ahora recordemos algunas cosas importantes

Condiciones de existencia

•  $\log_{x\ }y=a$  

• Para que exista un logaritmo debe

•  $y>0$  

•   $x>0$  /  $x\ne1$  

¡Ahora sí!

Propiedades de los logaritmos

Propiedad 1

El logaritmo de "1", no importa el valor de la base (respetando sus restricciones), es siempre 0.

 $\log_x1=0$  

¿Por qué?

• Supongamos que se tiene  $\log_b1=x$  

• Aplicando la definición pasémoslo a forma exponencial.

•  $b^x=1$  

• Ahora recuerda las propiedades de las potencias.

•  $b^x=b^0$  

• Recordando que al igualar potencias ¿qué sucede con los exponentes en este caso?

• x = 0

Propiedad 2: Logaritmo de la base

Logaritmo de la base y el antilogaritmo son iguales, el resultado es siempre 1.

 $\log_x\ x=1$  

¿Por qué?

• Supongamos que se tiene  $\log_5\ 5=x$  

• Aplicando la definición

•  $5^x=5$  

• Recordando las propiedades de las potencias

•  $5^x=5^1$  

• Recordando la igualdad en las potencias

• x = 1

Propiedad 3: Logaritmo de una potencia

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente de dicha potencia por el logaritmo en la misma base.

 $\log_{x\ }y^a=a\log_xy$  

¿Cómo?

• Supongamos que se tiene  $\log_5\ 36=?$  

• Escribiendo el argumento como potencia

•  $\log_5\ 6^2=?$  

• Aplicando la propiedad ¿Cómo quedaría?

•  $2\cdot\log_5\ 6$  

Propiedad 4: Logaritmo de una raíz

Es igual al logaritmo de la cantidad subradical, dividido por el índice de la raíz.

 $\log_b\sqrt{a^m}=\frac{m}{n}\cdot\log_b\ a$  

¿Cómo?

• Supongamos se tiene   $\log_{7\ }\sqrt{49}=$  

• Primero ¿qué creen o recuerdan que debemos hacer?

• Transformar la cantidad subradical a potencia.

•  $\log_7\ 49^{\frac{1}{4}}=$  

• Luego ¿qué dice la propiedad?

•  $\frac{1}{4}\cdot\log_7\ 49=$  

Continuación

• ¿Podremos aplicar otra propiedad ?

• Logaritmo de una potencia

•  $\frac{1}{4}\cdot\log_7\ 7^2$  

•  $\frac{1}{4}\cdot2\cdot\log_7\ 7$  

• ¿Podremos aplicar otra propiedad?

• Logaritmo de la base

•  $\frac{1}{4}\cdot2\cdot1$   $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$  

Propiedad 5: Logaritmo de un producto

 $\log_x\left(a\cdot c\right)=\log_xa\ +\log_x\ c$  

Situación

• Supongamos se tiene  $\log_{ }50$  

• Escribir el antilogaritmo como producto

•  $\log_{ }10\cdot5$  

• Aplicando la propiedad

•  $\log_{ }10+\log_{ }5$  

• ¿Qué otra propiedad podemos aplicar?

• Logaritmo de la base

Continuación

•  $1+\log_{ }5$  

• ¿Por qué se pudo aplicar logaritmo de la base?

• Porque cuando no aparece la base se asume que es 10.

Propiedad 6: Logaritmo de un Cuociente

Este lo explicaran ustedes.

Propiedad 7: Cambio de base de un logaritmo

 $\log_ba=\frac{\log_ca}{\log_cb}$  

¿Cómo?

• Supongamos tenemos  $\log_48=$  

• ¿Qué número nos podria servir de base, pensando en pasar los argumentos a potencia?

•  $\frac{\log_28}{\log_24}$  

• ¿Qué más podremos hacer?

• Logaritmo de una potencia  $\frac{\log_2\ 2^3}{\log_2\ 2^2}$  

• Ahora desarrollen y me dan la respuesta.

Ejercitemos

1)  $\log_b\ b+\log_a\ a$  

2)  $\log_c\ 1+\log_b\ b^n+\log_d\ d^{\ n}$  
3)  $\log_b\ 1\cdot\log_a\ a$  
4) $\log_b\left(\frac{b}{c}\right)+\log_b\ bc$  
5) $3\log_p\ p^4$  

¿Qué Hashtag resume la clase de hoy?

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