Повторение тригонометрии

Тригонометрические уравнения

Простейшие уравнения

​Простейшими называются тригонометрические уравнения следующих четырёх видов: sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a.
Любое тригонометрическое уравнение в конечном счёте сводится к решению одного или нескольких простейших.

Из определения синуса и косинуса следует, что уравнения cos x = a и sin x = a имеют решения только при условии |a| больше или равно 1. Абитуриент, будь внимателен! Уравнения sin x = 3/2 или cos x = −7 решений не имеют!

Базовые тригонометрические уравнения

Значения углов 1 четверти

Основные методы решения тригонометрических уравнений:

• Замена переменных

• Разложение на множители

• Понижение степени

• Введение дополнительного угла

Замена переменных

Это универсальный способ. Применяется в любых уравнениях – степенных, показательных, тригонометрических, логарифмических, каких угодно. Замена не всегда видна сразу, и уравнение нужно сначала преобразовать.

Разложение на множители

Метод состоит в том, чтобы левую часть уравнения вида f(x)=0 каким-либо образом разложить на два или более множителя и приравнять к нулю каждый множитель по отдельности.

Понижение степени

Некоторые тригонометрические уравнения решаются с помощью формул понижения степени. Эти формулы применяются в случае, когда мы хотим понизить степень уравнения за счёт изменения аргументов тригонометрических функций.

Введение дополнительного угла

Ещё одним важным методом решения тригонометрических уравнений является метод введения дополнительного угла.

Далее представлены теоретичесике вопросы по арк-функциям, общего вида решения базовых тригонометрических уравнений и частных случаев, на каждый вопррос выделяется 1 минута.

Multiple Choice

арккосинусом числа b, где $$\left|b\right|\le1$$  , называют такое число  $$\alpha$$   из промежутка..., косинус которого равен b

• [0;п]

• $$\left[-\frac{п}{2};\frac{п}{2}\right]$$  

• $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$  

• $$\left(0;\pi\right)$$  

Multiple Choice

арксинусом числа b, где $$\left|b\right|\le1$$  , называют такое число  $$\alpha$$   из промежутка..., синус которого равен b

• [0;п]

• $$\left[-\frac{п}{2};\frac{п}{2}\right]$$  

• $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$  

• $$\left(0;\pi\right)$$  

Multiple Choice

арккотангенсом числа b, где $$\left|b\right|\le1$$  , называют такое число  $$\alpha$$   из промежутка..., котангенс которого равен b

• [0;п]

• $$\left[-\frac{п}{2};\frac{п}{2}\right]$$  

• $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$  

• $$\left(0;\pi\right)$$  

Multiple Choice

арктангенсом числа b, где $$\left|b\right|\le1$$  , называют такое число  $$\alpha$$   из промежутка..., тангенс которого равен b

• [0;п]

• $$\left[-\frac{п}{2};\frac{п}{2}\right]$$  

• $$\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$$  

• $$\left(0;\pi\right)$$  

Multiple Choice

При каких значениях b уравнение cosx=b имеет корни?

• $$\left|b\right|>1$$

• $$\left|b\right|\ge1$$

• $$\left|b\right|<1$$

• $$\left|b\right|\le1$$

• b - любое

Multiple Choice

При каких значениях b уравнение sinx=b не имеет корней?

• $$\left|b\right|>1$$

• $$\left|b\right|\ge1$$

• $$\left|b\right|<1$$

• $$\left|b\right|\le1$$

• b - любое

Multiple Choice

При каких значениях b уравнение tgx=b не имеет корней?

• $$\left|b\right|>1$$

• $$\left|b\right|\le1$$

• b - любое

• такого числа нет

Multiple Choice

При каких значениях b уравнение сtgx=b имеет корни?

• $$\left|b\right|>1$$

• $$\left|b\right|\le1$$

• b - любое

• такого числа нет

Multiple Choice

выберите решение уравнения cosx=b

• x = arctg b + пn

• $$\left(-1\right)^k\arcsin\ b\ +\ пk$$

• $$\pm$$ arccos b + 2пn

• х=arcctg b + пn

Multiple Choice

выберите решение уравнения sinx=b

• x = arctg b + пn

• $$\left(-1\right)^k\arcsin\ b\ +\ пk$$

• $$\pm$$ arccos b + 2пn

• х=arcctg b + пn

Multiple Choice

выберите решение уравнения tgx=b

• x = arctg b + пn

• $$\left(-1\right)^k\arcsin\ b\ +\ пk$$

• $$\pm$$ arccos b + 2пn

• х=arcctg b + пn

Multiple Choice

выберите решение уравнения ctgx=b

• x = arctg b + пn

• $$\left(-1\right)^k\arcsin\ b\ +\ пk$$

• $$\pm$$ arccos b + 2пn

• х=arcctg b + пn

Multiple Choice

cosx=1

• х=2пn

• $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

• х=п+2пn

Multiple Choice

cosx=-1

• х=2пn

• $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

• х=п+2пn

Multiple Choice

cosx=0

• х=2пn

• $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

• х=п+2пn

Multiple Choice

sinx=1

• х=пn

• $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

• $$x=-\frac{\pi}{2}+2пn$$  
  

Multiple Choice

sinx=-1

• х=пn

• $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

• $$x=-\frac{\pi}{2}+2пn$$  
  

Multiple Choice

sinx=0

• х=пn

• $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

• $$x=-\frac{\pi}{2}+2пn$$  
  

Далее представлены задания на работу с тригонометрической окружностью

Multiple Choice

Вычислите arccos( $$\frac{1}{2}$$ ) = ?

• $$\frac{\pi}{4}$$

• $$\frac{\pi}{3}$$

• $$\frac{\pi}{6}$$

• $$\frac{\pi}{2}$$

Multiple Choice

Вычислите arcctg( $$\sqrt[]{3}$$ ) = ?

• $$\frac{\pi}{3}$$

• $$\frac{2\pi}{3}$$

• $$\frac{\pi}{6}$$

• $$\frac{\pi}{4}$$

Multiple Choice

Вычислите arcsin( $$\frac{\sqrt[]{2}}{2}$$ ) = ?

• $$\frac{\pi}{4}$$

• $$\frac{\pi}{3}$$

• $$\frac{\pi}{6}$$

• $$\frac{\pi}{2}$$

Multiple Choice

Решите уравнение sinx = 1

• $$\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in Z$$

• $$\pi n,\ n\in Z$$

• $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in Z$$

• $$\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in Z$$

Multiple Choice

Решите уравнение cosx = 1

• $$\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in Z$$

• $$\pi n,\ n\in Z$$

• $$2\pi n,\ n\in Z$$

• $$\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in Z$$

Multiple Choice

Решите уравнение sinx = 0

• $$\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in Z$$

• $$\pi n,\ n\in Z$$

• $$2\pi n,\ n\in Z$$

• $$\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in Z$$

Multiple Choice

Решите уравнение cosx = 0

• $$\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in Z$$

• $$\pi n,\ n\in Z$$

• $$2\pi n,\ n\in Z$$

• $$\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in Z$$

Далее идут задания на решение базовых и стандартных тригонометрических уравнений

Multiple Select

Какие уравнения не имеют решения?

• tgx=3

• cosx= $$\frac{4}{3}$$

• sinx=0,8

• sinx=2

Multiple Choice

Решите уравнение $$\operatorname{ctg}x=\frac{1}{\sqrt{3}}$$  

• $$x=\frac{7\pi}{6}+\pi n$$  

• $$x=\frac{\pi}{3}+\pi k$$  

• $$x=\frac{\pi}{6}+\pi k$$  

• $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi k$$  

Multiple Choice

Решите уравнение  $$\cos x=\frac{1}{2}$$  

• $$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n$$  

• $$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n$$  

• $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$$  

• $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k$$  

Multiple Select

Выберите все решения уравнения $$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$  

• $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$  

• $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$$  

• $$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n$$  

Multiple Select

Решите уравнение $$\cos x=\frac{1}{2}$$  

• $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$  

• $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$$  

• $$x=\pi n$$  

• $$x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n$$  

Multiple Choice

Решите уравнение $$2\sin x=4$$  

• $$x=\left(-1\right)^k\cdot\frac{\pi}{6}+\pi k$$  

• $$x=\arcsin2+2\pi k$$  

• $$x=\left(-1\right)^n\arcsin2+2\pi n$$  

• нет решений

Multiple Choice

Решить уравнение

$$\sin x\ =\ \frac{1}{2}$$  

• $$\frac{\pi}{6}\ +2\pi n;\ \frac{5\pi}{6}\ +2\pi n;\ n\ \epsilon\ Z$$  

• $$\frac{\pi}{3}\ +2\pi n;\ \frac{2\pi}{3}\ +2\pi n;\ n\ \epsilon\ Z$$  

• $$-\frac{\pi}{6}\ +2\pi n;\ -\frac{5\pi}{6}\ +2\pi n;\ n\ \epsilon\ Z$$  

• $$-\frac{\pi}{3}\ +2\pi n;\ -\frac{2\pi}{3}\ +2\pi n;\ n\ \epsilon\ Z$$  

Multiple Choice

Решить уравнение

$$\sin x\ =\ \frac{\sqrt{2}}{2}$$  

• $$\frac{\pi}{4}\ +2\pi n;\ \frac{3\pi}{4}\ +2\pi n;\ n\ \epsilon\ Z$$  

• $$\frac{\pi}{3}\ +2\pi n;\ \frac{2\pi}{3}\ +2\pi n;\ n\ \epsilon\ Z$$  

• $$-\frac{\pi}{4}\ +2\pi n;\ -\frac{3\pi}{4}\ +2\pi n;\ n\ \epsilon\ Z$$  

• $$\pm\frac{\pi}{4}\ +2\pi n,\ n\ \epsilon\ Z$$  

Multiple Choice

Решить уравнение

$$\cos x\ =-\ \frac{\sqrt{3}}{2}$$  

• $$\pm\frac{\pi}{6}\ +2\pi n;\ \ n\ \epsilon\ Z$$  

• $$\frac{\pi}{3}\ +2\pi n;\ \frac{2\pi}{3}\ +2\pi n;\ n\ \epsilon\ Z$$  

• $$\pm\frac{5\pi}{6}\ +2\pi n;\ n\ \epsilon\ Z$$  

• $$-\frac{\pi}{3}\ +2\pi n;\ -\frac{2\pi}{3}\ +2\pi n;\ n\ \epsilon\ Z$$  

Multiple Choice

Решить уравнение

$$tgx\ =1$$  

• $$\frac{\pi}{4}\ +2\pi n;\ \ n\ \epsilon\ Z$$  

• $$-\frac{\pi}{4}\ +2\pi n;\ \ n\ \epsilon\ Z$$  

• $$-\frac{\pi}{4}\ +\pi n;\ \ n\ \epsilon\ Z$$  

• $$\frac{\pi}{4}\ +\pi n;\ \ n\ \epsilon\ Z$$  

Multiple Choice

Решить уравнение

$$tgx\ =\frac{1}{\sqrt{3}}$$  

• $$\frac{\pi}{3}\ +\pi n;\ \ n\ \epsilon\ Z$$  

• $$\frac{\pi}{6}\ +\pi n;\ \ n\ \epsilon\ Z$$  

• $$\frac{\pi}{6}\ +2\pi n;\ \ n\ \epsilon\ Z$$  

• $$\frac{\pi}{3}\ +2\pi n;\ \ n\ \epsilon\ Z$$  

Multiple Choice

Решить уравнение

$$\cos x\ =1$$  

• $$\frac{\pi}{2}\ +\pi n;\ \ n\ \epsilon\ Z$$  

• $$2\pi n;\ n\ \epsilon\ Z$$  

• $$\pi n;\ n\ \epsilon\ Z$$  

• $$\frac{\pi}{2}\ +2\pi n;\ \ n\ \epsilon\ Z$$  

Multiple Choice

Решить уравнение

$$\operatorname{ctg}x\ =0$$  

• $$\frac{\pi}{2}\ +\pi n;\ \ n\ \epsilon\ Z$$  

• $$-\frac{\pi}{2}\ +2\pi n;\ \ n\ \epsilon\ Z$$  

• $$-\frac{\pi}{2}\ +\pi n;\ \ n\ \epsilon\ Z$$  

• $$2\pi n;\ \ n\ \epsilon\ Z$$  

Multiple Choice

Решить уравнение

$$\sin x\ =\ \frac{\sqrt{3}}{2}$$  

• $$\frac{\pi}{3}\ +2\pi n;\ \frac{2\pi}{3}\ +2\pi n;\ n\ \epsilon\ Z$$  

• $$-\frac{\pi}{3}\ +2\pi n;\ -\frac{2\pi}{3}\ +2\pi n;\ n\ \epsilon\ Z$$  

• $$2\pi n;\ n\ \epsilon\ Z$$  

• $$\pm\frac{\pi}{3}\ +2\pi n,\ n\ \epsilon\ Z$$  

Multiple Choice

Решить уравнение

$$tgx\ =0$$  

• $$\pi n;\ \ n\ \epsilon\ Z$$  

• $$2\pi n;\ \ n\ \epsilon\ Z$$  

• $$-\frac{\pi}{3}\ +\pi n;\ \ n\ \epsilon\ Z$$  

• $$\frac{\pi}{3}\ +2\pi n;\ \ n\ \epsilon\ Z$$  

Multiple Choice

Решить уравнение

$$\operatorname{ctg}x\ =-\frac{1}{\sqrt{3}}$$  

• $$\frac{2\pi}{3}\ +2\pi n;\ \ n\ \epsilon\ Z$$  

• $$\frac{\pi}{3}\ +\pi n;\ \ n\ \epsilon\ Z$$  

• $$-\frac{\pi}{3}\ +2\pi n;\ \ n\ \epsilon\ Z$$  

• $$\frac{2\pi}{3}+\pi n;\ \ n\ \epsilon\ Z$$  

Multiple Choice

Решите уравнение  $$4\cos^3x+3\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=0$$ . 

• $$\frac{3\pi}{2}+\pi k;\ \pm\frac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in Z$$  

• $$\frac{\pi}{2}+\pi k;\ \pm\frac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in Z$$  

• $$\pi k;\ \pm\frac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in Z$$  

• $$\pm\frac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in Z$$  

Multiple Choice

Найдите корни уравнения  $$\left(2x^2-5x-12\right)\left(2\cos x+1\right)=0$$  на  $$\left[-\frac{\pi}{2};\pi\right]$$ . 

• $$-1,5;\ \frac{2\pi}{3}$$  

• $$-1,5;\ \frac{\pi}{3};\ \frac{2\pi}{3}$$  

• $$\frac{\pi}{3};\ \frac{2\pi}{3}$$  

• $$-1,5;\ \frac{\pi}{3};\ \frac{2\pi}{3};\ 4$$  

Multiple Choice

Выберите уравнение, решением которого является выражение

• cos x = 1

• sin x = 1

• sin x = -1

• cos x = -1

Multiple Choice

Выберите уравнение, решением которого является это выражение

• cos x = -1

• sin x = -1

• cos x = 1

• sin x = 1

Multiple Choice

Выберите уравнение, решением которого является это выражение

• cos x = a

• sin x = a

• sin a = x

• cos a = x

Multiple Choice

Выберите уравнение, решением которого является это выражение

• sin a = x

• cos a = x

• sin x = a

• cos x = a

Multiple Choice

Выберите уравнение, решением которого является это выражение

• sin x = -1

• sin x = 1

• sin x = 0

• cos x = 0

Multiple Choice

Выберите уравнение, решением которого является это выражение

• cos x = 1

• sin x = 1

• cos x = -1

• sin x =-1

Multiple Choice

Решите простейшее тригонометрическое уравнение

Multiple Choice

Решите простейшее тригонометрическое уравнение

Multiple Choice

Решите простейшее тригонометрическое уравнение

Multiple Choice

Решите простейшее тригонометрическое уравнение

Multiple Choice

Решите простейшее тригонометрическое уравнение