powtórka

dział 1 - powakacyjnie

mam nadzieję, że w takiej formie będzie łatwiej się skupić niż gdyby to był jeden długi plik w wordzie

Jak potrzebujesz przerwy to po prostu zatrzymaj na polu objaśnienia, odpowiedzi sie zapisują jak tylko na nie przejdziesz



powodzenia!

Część 1: Działania na liczbach rzeczywistych



odpowiedzi dawaj w ułamkach z przecinkami, np 10 i 1/8=10,125

Część 2: Suma algebraiczna i uproszczenia

Część 3: Logarytmy - własności

Część 4: dowody algebraiczne

Drag and Drop

Zadanie 17:Uzupełnij luki, uwaga są też nieprawdziwe odpowiedzi!



Udowodnij, że suma trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 3



Teza: suma trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 3

Założenia: kolejne liczby to n, ​

Placeholder

, ​

Placeholder

Dowód: Ich suma to n+​ n+1 + n+2​ =​

Placeholder

+ ​

Placeholder

=3(​

Placeholder

), co jest podzielne przez 3 ​

Drag these tiles and drop them in the correct blank above

n+1

n+2

3n

3

n

n+3

2n

2n+2

Open Ended

Zadanie 18:Teraz też uzupełnij luki, ale mamy odpowiedzi otwarte, będziemy po kolei tworzyć taki dowód jak w poprzednim zadaniu:

zadanie: pokaż, że iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 8

etap 1: tworzymy tezę, po prostu pokazujemy co będziemy dowodzić

Teza: Iloczyn dwóch kolejnych ....

Open Ended

Zadanie 18: Pokaż, że iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 8

Teza: Iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 8

Teraz tworzymy założenia, przedstawimy te liczby

Założenia: Nasze liczby to 2n, ...

Open Ended

Zadanie 18: Pokaż, że iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 64

Teza: Iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 64

Założenia: Nasze liczby to 2n, 2n+2 (dodajemy po 2, bo między dwoma parzystymi odstęp to 2)

Teraz piszemy dowód:

Iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych to ...

Open Ended

Zadanie 18: Pokaż, że iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 8

Teza: Iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 8

Założenia: Nasze liczby to 2n, 2n+2

Dowód: Iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych to 2n*(2n+2)=...

Open Ended

Zadanie 18: Pokaż, że iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 8

Teza: Iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 8

Założenia: Nasze liczby to 2n, 2n+2

Dowód: Iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych to 2n*(2n+2)=2*n*2*(n+1)=4*...

Open Ended

Zadanie 18: Pokaż, że iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 8

Teza: Iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 8

Założenia: Nasze liczby to 2n, 2n+2

Dowód: Iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych to 2n*(2n+2)=2*n*2*(n+1)=4*...

Open Ended

Zadanie 18: Pokaż, że iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 8

Teza: Iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 8

Założenia: Nasze liczby to 2n, 2n+2

Dowód: Iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych to 2n*(2n+2)=2*n*2*(n+1)=4*n*(n+1)

Piszemy końcówkę:

Spośród dwóch kolejnych liczb n, n+1, jedna z nich na pewno będzie liczbą ..., toteż iloczyn n*(n+1) na pewno także jest liczbą ...

Multiple Select

Zadanie 18: Pokaż, że iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 8

Teza: Iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 8

Założenia: Nasze liczby to 2n, 2n+2

Dowód: Iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych to 2n*(2n+2)=2*n*2*(n+1)=4*n*(n+1)

Piszemy końcówkę:

Spośród dwóch kolejnych liczb n, n+1, jedna z nich na pewno będzie liczbą parzystą, czyli podzielną przez 2, toteż iloczyn n*(n+1) na pewno także jest liczbą parzystą. Stąd nasz iloczyn 4*n*(n+1) jest podzielny przez 4*2=8. Zrozumiałe?

• Tak

• Tak

Open Ended

Zadanie 19: Teraz masz szansę sama zbudować taki dowód, trochę prostszy:

Zadanie: udowodnij, że druga potęga liczby podzielnej przez 5 jest liczbą podzielną przez 25

Teza: ...

Założenia: nasza liczba to 5n

Dowód: ...

Timer: 15 minut

Część 5: Procenty

łatwe na koniec

Multiple Choice

Zadanie 20: Cena towaru bez podatku VAT jest równa 60zł.

Towar ten wraz z podatkiem VAT w wysokości 22% kosztuje:

• 82 zł

• 73,20 zł

• 49,18 zł

• 60,22 zł

Multiple Choice

Zadanie 21: 12% liczby x jest równe 9. Wtedy

12% - 9

100% - x

mnożymy na krzyż 12%*x=100%*9

skracamy %

dzielimy obustronnie przez 12

x=...

• 75

• 80

• 65

• 66,7

Multiple Choice

Zadanie 22: Spodnie po obniżce ceny o 30% kosztują 126zł.
Ile kosztowały spodnie przed obniżką?

Tutaj trzeba podejść do tego w taki sposób:

Po obniżce cena stanowi 70% oryginalnej ceny, więc 70% to 126 zł, więc ile to 100%?

• 180

• 156

• 163,8

Multiple Choice

Zadanie 23: Cenę nart obniżono o 20%, a po miesiącu nową cenę obniżono o dalsze 30%.
W wyniku obu obniżek cena nart zmniejszyła się o:

Tutaj trzeba podejść do tego w taki sposób:

Po pierwszej obniżce cena stanowiła 80% ceny poprzedniej, a po drugiej obniżce 70% ceny drugiej, a druga cena to 80% pierwszej, więc ostateczna cena to 70%*80% =56% ceny oryginalnej, więc o ile obniżono tę cenę?

• 44%

• 50%

• 56%

Multiple Choice

Zadanie 24: Kwotę 1000zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości 4%

w stosunku rocznym. Jaka jest wartość tej lokaty po roku?

Do początkowej wartości musimy dodać 4% tej wartości

• 1000+4%*1000

• 1000*(1+4%/12)

• 1000+4%*12

Multiple Choice

Zadanie 25: Kwotę 1000zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości 4%

w stosunku rocznym.

Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości 19%. Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku, jest równa:

Teraz od naszych odsetek - 4%z 1000 musimy odjąć 19%, więc zostanie nam 4%*1000*81%

• 1000+4%*1000*81%

• 1000*(1+4%+81%/12)

• 1000+4%*12*19%

Koniec