powtórka

dział 1 - powakacyjnie

mam nadzieję, że w takiej formie będzie łatwiej się skupić niż gdyby to był jeden długi plik w wordzie

Jak potrzebujesz przerwy to po prostu zatrzymaj na polu objaśnienia, odpowiedzi sie zapisują jak tylko na nie przejdziesz



powodzenia!

Część 1: Działania na liczbach rzeczywistych



odpowiedzi dawaj w ułamkach z przecinkami, np 10 i 1/8=10,125

Fill in the Blanks

Zadanie 1:
Oblicz wartość wyrażenia:

5+(−3)⋅2

Pamiętaj o kolejności wykonywania działań

Fill in the Blanks

Zadanie 2:
Oblicz wartość wyrażenia:

$2^3−4⋅(−2)+\frac{5}{2}$

Mamy tu potęgowanie, a potem mnożenie dwóch minusów i sumowanie trzech liczb

Fill in the Blanks

Zadanie 3: Oblicz wartość wyrażenia:

$\sqrt[]{25}+3^2−\log_{10}100$

Przypomnij sobie pierwiastkowanie i logarytmowanie, np $\log_28=x,\ więc\ 2^x=8,\ czyli\ 2^x=2^3,\ czyli\ x=3$

Fill in the Blanks

Zadanie 4: Oblicz wartość wyrażenia:
$2^{-3}+\sqrt[4]{16}$

Potęga ujemna oznacza odwrotność zwykłej potęgi, np $4^{-2}=\left(\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{16}$

tip: 1/8 to 0,125

Fill in the Blanks

Zadanie 5: Oblicz wartość wyrażenia:
$16^{\frac{1}{2}}​⋅9^{\frac{3}{2}}​$

Musimy policzyć oddzielnie dwie potęgi,a potem je pomnozyć,

przypominajka, że w potędze ułamkowej licznik(góra) idzie do góry, a mianownik (dół) idzie do pierwiastka, np $4^{\frac{3}{2}}=\left(\sqrt[2]{4}\right)^3=\left(2\right)^3=8$

Fill in the Blanks

Zadanie 6: Oblicz wartość wyrażenia:
$\log_28\ +\ \sqrt[3]{-27}$

Musimy policzyć oddzielnie logarytm i pierwiastek, a potem je dodać,

podpowiedz do pierwiastka: jaka liczba podnieisona do 3 potęgi da nam 27? a jaka da nam -27?

Fill in the Blanks

Zadanie 7: Oblicz wartość wyrażenia:
$\log_{\frac{1}{8}}2+\log_{\frac{1}{4}}2+\log_{\frac{1}{2}}2$

podpowiedz: $\log_{\frac{1}{2}}2=x,\ wtedy\ \left(\frac{1}{2}\right)^x=2,\ czyli\ \left(2^{-x}\right)=2^{1,\ czyli\ }-x=1,\ więc\ x=-1,\ reszta\ ana\log icznie$

Fill in the Blanks

Zadanie 8: Oblicz wartość wyrażenia:
$\sqrt[3]{-8}\cdot\log_{\left(\frac{1}{3}\right)}9$

najpierw pierwszy, potem drugi, w pierwszym szukamy liczby, która podniesiona do 3 potęgi da nam -8, a w drugim szukamy $\left(\frac{1}{3}\right)^x=9\ czyli\ 3^{-x}=9$

Fill in the Blanks

Zadanie 9: Oblicz wartość wyrażenia:
$\left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{1}{4}}\cdot\sqrt[]{49}$

podpowiedz: pierwszy czynnik jest trudniejszy, ale trzeba po kolei wszystko i będzie latwo: $\left(\frac{1}{16}\right)^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{16^{\frac{1}{4}}}$

a ile to $16^{\frac{1}{4}}$ ? $16^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{16}=2$ i wstawiamy 2 do mianownika

Część 2: Suma algebraiczna i uproszczenia

Fill in the Blanks

Zadanie 10: Oblicz wartość wyrażenia:

$3𝑥^2−5𝑥+4+7𝑥−2𝑥^2$

Przegrupuj wyrazy podobne, czyli te, które mają te same potęgi zmiennych

znaczek ^ oznacza potęgę, np 2^3=8, a x^2= $x^2$

Fill in the Blanks

Zadanie 11: Oblicz wartość wyrażenia:

$4𝑥^3+3𝑥^2−2𝑥+5$

$dla\ x=-2$

wstawiamy -2 tam gdzie był x, pamiętamy o nawiasach

Część 3: Logarytmy - własności

Fill in the Blanks

Zadanie 12: Oblicz wartość wyrażenia:

$\log_2⁡8+\log_{⁡10}(100)−\log⁡_5(25)$

tu nie ma nic nowego

Fill in the Blanks

Zadanie 13: Oblicz wartość wyrażenia:

$\log_8⁡16+\log_{⁡8}4$

mamy tą samą podstawę (8), więc musimy wrzucić w jeden logarytm i zrobić iloczyn: $\log_6⁡18+\log_{⁡6}2=\log_6\left(18\cdot2\right)=\log_636=2$ powyższe analogicznie

Fill in the Blanks

Zadanie 14: Oblicz wartość wyrażenia:

$\log_{526524786529}⁡1-\log_{⁡238674}1$

ile to było $\log_a1$ ?

Fill in the Blanks

Zadanie 15: Oblicz wartość wyrażenia:

$\log_232-3\log_{⁡2}4$

można policzyć tradycyjnie, licząc oba i odejmując, ale można wrzucić w jeden logarytm, bo mamy tę samą podstawę (2), a jak odejmujemy to dzielimy liczby wewnątrz logarytmu, natomiast to 3 przed logarytmem wrzucamy do potęgi 4, o tak: $3\log_{⁡2}4=\log_{⁡2}\left(4^3\right)$

Fill in the Blanks

Zadanie 16 Oblicz wartość wyrażenia:

$\log_50,04-\frac{1}{2}\log_{⁡25}1$

0,04 to inaczej 1/25, a poza tym nic nowego

Część 4: dowody algebraiczne

Drag and Drop

Zadanie 17:Uzupełnij luki, uwaga są też nieprawdziwe odpowiedzi!



Udowodnij, że suma trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 3



Teza: suma trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 3

Założenia: kolejne liczby to n, ​

Placeholder

, ​

Placeholder

Dowód: Ich suma to n+​ n+1 + n+2​ =​

Placeholder

+ ​

Placeholder

=3(​

Placeholder

), co jest podzielne przez 3 ​

Drag these tiles and drop them in the correct blank above

n+1

n+2

3n

3

n

n+3

2n

2n+2

Open Ended

Zadanie 18:Teraz też uzupełnij luki, ale mamy odpowiedzi otwarte, będziemy po kolei tworzyć taki dowód jak w poprzednim zadaniu:

zadanie: pokaż, że iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 8

etap 1: tworzymy tezę, po prostu pokazujemy co będziemy dowodzić

Teza: Iloczyn dwóch kolejnych ....

Open Ended

Zadanie 18: Pokaż, że iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 8

Teza: Iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 8

Teraz tworzymy założenia, przedstawimy te liczby

Założenia: Nasze liczby to 2n, ...

Open Ended

Zadanie 18: Pokaż, że iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 64

Teza: Iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 64

Założenia: Nasze liczby to 2n, 2n+2 (dodajemy po 2, bo między dwoma parzystymi odstęp to 2)

Teraz piszemy dowód:

Iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych to ...

Open Ended

Zadanie 18: Pokaż, że iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 8

Teza: Iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 8

Założenia: Nasze liczby to 2n, 2n+2

Dowód: Iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych to 2n*(2n+2)=...

Open Ended

Zadanie 18: Pokaż, że iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 8

Teza: Iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 8

Założenia: Nasze liczby to 2n, 2n+2

Dowód: Iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych to 2n*(2n+2)=2*n*2*(n+1)=4*...

Open Ended

Zadanie 18: Pokaż, że iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 8

Teza: Iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 8

Założenia: Nasze liczby to 2n, 2n+2

Dowód: Iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych to 2n*(2n+2)=2*n*2*(n+1)=4*...

Open Ended

Zadanie 18: Pokaż, że iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 8

Teza: Iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 8

Założenia: Nasze liczby to 2n, 2n+2

Dowód: Iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych to 2n*(2n+2)=2*n*2*(n+1)=4*n*(n+1)

Piszemy końcówkę:

Spośród dwóch kolejnych liczb n, n+1, jedna z nich na pewno będzie liczbą ..., toteż iloczyn n*(n+1) na pewno także jest liczbą ...

Multiple Select

Zadanie 18: Pokaż, że iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 8

Teza: Iloczyn dwóch kolejnych liczb parzystych jest podzielny przez 8

Założenia: Nasze liczby to 2n, 2n+2

Dowód: Iloczyn trzech kolejnych liczb parzystych to 2n*(2n+2)=2*n*2*(n+1)=4*n*(n+1)

Piszemy końcówkę:

Spośród dwóch kolejnych liczb n, n+1, jedna z nich na pewno będzie liczbą parzystą, czyli podzielną przez 2, toteż iloczyn n*(n+1) na pewno także jest liczbą parzystą. Stąd nasz iloczyn 4*n*(n+1) jest podzielny przez 4*2=8. Zrozumiałe?

• Tak

• Tak

Open Ended

Zadanie 19: Teraz masz szansę sama zbudować taki dowód, trochę prostszy:

Zadanie: udowodnij, że druga potęga liczby podzielnej przez 5 jest liczbą podzielną przez 25

Teza: ...

Założenia: nasza liczba to 5n

Dowód: ...

Timer: 15 minut

Część 5: Procenty

łatwe na koniec

Multiple Choice

Zadanie 20: Cena towaru bez podatku VAT jest równa 60zł.

Towar ten wraz z podatkiem VAT w wysokości 22% kosztuje:

• 82 zł

• 73,20 zł

• 49,18 zł

• 60,22 zł

Multiple Choice

Zadanie 21: 12% liczby x jest równe 9. Wtedy

12% - 9

100% - x

mnożymy na krzyż 12%*x=100%*9

skracamy %

dzielimy obustronnie przez 12

x=...

• 75

• 80

• 65

• 66,7

Multiple Choice

Zadanie 22: Spodnie po obniżce ceny o 30% kosztują 126zł.
Ile kosztowały spodnie przed obniżką?

Tutaj trzeba podejść do tego w taki sposób:

Po obniżce cena stanowi 70% oryginalnej ceny, więc 70% to 126 zł, więc ile to 100%?

• 180

• 156

• 163,8

Multiple Choice

Zadanie 23: Cenę nart obniżono o 20%, a po miesiącu nową cenę obniżono o dalsze 30%.
W wyniku obu obniżek cena nart zmniejszyła się o:

Tutaj trzeba podejść do tego w taki sposób:

Po pierwszej obniżce cena stanowiła 80% ceny poprzedniej, a po drugiej obniżce 70% ceny drugiej, a druga cena to 80% pierwszej, więc ostateczna cena to 70%*80% =56% ceny oryginalnej, więc o ile obniżono tę cenę?

• 44%

• 50%

• 56%

Multiple Choice

Zadanie 24: Kwotę 1000zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości 4%

w stosunku rocznym. Jaka jest wartość tej lokaty po roku?

Do początkowej wartości musimy dodać 4% tej wartości

• 1000+4%*1000

• 1000*(1+4%/12)

• 1000+4%*12

Multiple Choice

Zadanie 25: Kwotę 1000zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości 4%

w stosunku rocznym.

Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest podatek w wysokości 19%. Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku, jest równa:

Teraz od naszych odsetek - 4%z 1000 musimy odjąć 19%, więc zostanie nam 4%*1000*81%

• 1000+4%*1000*81%

• 1000*(1+4%+81%/12)

• 1000+4%*12*19%

Koniec