Differentialrechnung und ihre Anwendungen

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2.

• 9x^2 - 10x

• 3x^2 - 10x

• 9x^2 + 10x

• 6x^2 - 5x

Finde die Extrempunkte der Funktion f(x) = x^4 - 4x^3 + 6.

• Extrempunkte: x = 0 (unbestimmt), x = 3 (Minimum)

• x = -1 (Unbestimmt)

• x = 1 (Maximum)

• x = 2 (Minimum)

Bestimme die Wendepunkte der Funktion f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 1.

• Wendepunkte: (0, f(0)) und (3, f(3)) = (0, -1) und (3, 2)

• Wendepunkte: (0, f(0)) und (2, f(2)) = (0, 0) und (2, 1)

• Wendepunkte: (1, f(1)) und (2, f(2)) = (1, 2) und (2, -1)

• Wendepunkte: (1, f(1)) und (3, f(3)) = (1, 1) und (3, 0)

Skizziere den Graphen der Funktion f(x) = x^2 - 4x + 3 und markiere die Extrempunkte.

• Der Extrempunkt liegt bei (1, 1).

• Der Graph ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Extrempunkt (0, 3).

• Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Extrempunkt (2, -1).

• Der Graph hat keinen Extrempunkt und ist eine Gerade.

Analysiere die Funktion f(x) = -x^3 + 3x^2 und bestimme die Funktionseigenschaften.

• Die Funktion hat keine Nullstellen und ein Maximum bei x = 0.

• Die Funktion hat Nullstellen bei x = 0 und x = 3, ein Maximum bei x = 1 und strebt gegen -∞ für x gegen ±∞.

• Die Funktion hat Nullstellen bei x = -1 und x = 2.

• Die Funktion hat ein Minimum bei x = 1 und strebt gegen +∞ für x gegen ±∞.

Berechne die zweite Ableitung der Funktion f(x) = 4x^4 - 8x^2 + 1.

• f''(x) = 16x^2 - 48

• f''(x) = 32x^3 - 8

• f''(x) = 12x^2 + 4

• f''(x) = 48x^2 - 16

Finde die Nullstellen der ersten Ableitung von f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x.

• [1, 3]

• [1, 2]

• [2, 4]

• [0, 2]

Bestimme die Extrempunkte der Funktion f(x) = x^5 - 5x^3 + 4.

• Extrempunkte: (0, 4) ist ein Maximum; (√3, -2) und (-√3, -2) sind Minima.

• (2, 0) ist ein Maximum

• (-1, 0) ist ein Minimum

• (1, 0) ist ein Minimum

Skizziere den Graphen der Funktion f(x) = x^2 + 2 und beschreibe die Eigenschaften.

• Der Graph der Funktion f(x) = x^2 + 2 ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt (0, 2) und hat keine Nullstellen.

• Der Graph ist eine gerade Linie, die die y-Achse bei y = 2 schneidet.

• Der Graph ist eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt (0, -2).

• Der Graph hat zwei Nullstellen bei x = -1 und x = 1.

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = 5x^4 - 3x + 7.

• 15x^3 - 3

• 5x^3 + 7

• 20x^4 - 3x^2

• 20x^3 - 3