FUNGSI, PERSAMAAN, DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONENSIAL

FUNGSI, PERSAMAAN, DAN
PERTIDAKSAMAAN EKSPONENSIAL

Sumber: www.shutterstock.com

Bab

1

Fungsi Eksponensial

1.1

Kita akan memulai pembahasan dengan sebuah contoh sederhana. Misalkan sebuah
toko CD menjual 2 buah CD band A pada hari pertama, pada hari kedua terjual 4
buah CD band yang sama, pada hari ketiga terjual 8 buah CD, dan seterusnya
seperti terlihat pada tabel di samping. Berapa total banyaknya
CD yang terjual hingga hari ke-20?

Pada tabel di samping, y menunjukkan total banyaknya CD yang terjual hingga hari
ke-x, dinyatakan dengan sebuah fungsi eksponen.

𝑦 = 2𝑥

Hal ini berarti hingga hari ke-20 (saat x = 20), terjual y = 220 buah CD.

Jika dihitung dengan menggunakan kalkulator, akan diperoleh sekitar 1 juta CD
yang terjual. Perhitungan pendekatan hingga hari ke-20 ini berdasarkan Memo di
samping.

1.1.1 Pendahuluan

1.1.2 Pengertian Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial f dengan bilangan pokok a adalah fungsi yang memetakan setiap bilangan
real x ke 𝑎𝑥dengan a > 0 dan a ≠ 1 dan ditulis sebagai:

CONTOH :

Diberikan f(x) =8𝑥. Carilah nilai dari:
a. f(

𝑎
3)

b. f(

1
3)

Contoh:
1. Persamaan 𝑦 = 2𝑥dan y = 3𝑥menyatakan fungsi eksponensial dengan bilangan pokok 2 dan 3.

2. Persamaan y =

1
2

𝑥
menyatakan fungsi eksponensial dengan bilangan pokok

1
2.

3. Persamaan y = 𝑥2dan y = 𝑥3bukan fungsi eksponensial.

1.1.3 Melukis Grafik Fungsi Eksponensial dengan Persamaan 𝒚 = 𝒂𝒙

Catatan:
Dalam berbagai aplikasi sains, fungsi eksponensial berada dalam bentuk: 𝑦 = 𝑛𝑎𝑥dengan n, a, dan k
berupa konstanta.

Berdasarkan gambar tersebut, diperoleh hal-hal berikut.
(i) domain dari 𝑦 = 2𝑥adalah himpunan semua bilangan real dan

range berupa himpunan semua bilangan real positif,

(ii) grafik memotong sumbu Y (intersep Y) pada satu titik yaitu (0, 1),
(iii) grafik tidak pernah memotong sumbu X,
(iv) untuk x > 0, fungsi selalu naik, yaitu kurva dalam keadaan

monoton naik,

(v) grafik kurva mempunyai asimtot datar, yaitu garis y = 0 atau sumbu X.

Untuk membantu analisis, kita dalam melukis grafik fungsi
eksponensial. Mula-mula tabel fungsi eksponensial dibuat dengan
persamaan 𝑦 = 2𝑥, seperti terlihat pada tabel di samping. Dari nilai x
dan y, diperoleh titik-titik (x, y) yang dilukiskan pada diagram Cartesius
berupa titik (bulatan kecil), yang jika dihubungkan akan terjadi kurva
𝑦 = 2𝑥, seperti pada Gambar di samping.

CONTOH:

Lukislah sketsa grafik setiap kurva di bawah ini.

a. g(x) = 2𝑥dengan x ∈ R

b. f(x) =

1
2

𝑥
dengan x ∈ R

Apabila titik-titik tersebut dihubungkan, maka diperoleh grafik
g(x) = 2𝑥seperti pada gambar di samping.

Berdasarkan tabel di atas, diperoleh grafik sebagai berikut.

1.1.4 Melukis Grafik Fungsi Eksponensial dengan Persamaan 𝒚 = 𝒆𝒙

Bilangan Euler merupakan bilangan irasional yang terletak di
antara 2 dan 3. Sebagai pendekatan, nilai e ditentukan oleh:

e ≈ 2,7

Nilai e dapat didekati oleh bentuk eksponen di bawah ini:

1 +1

𝑥

𝑥

dengan x bernilai besar sekali, seperti terlihat pada tabel di
samping.
Tabel tersebut memberikan gambaran tentang nilai ቀ1 +

Nilai e secara grafik dilukiskan sebagai pendekatan dari bentuk 𝑦 = 1 +

1
𝑥

𝑥
, dengan x > 0.

Bilangan e sering digunakan di bidang perbankan. Konstanta e sering disebut sebagai Konstanta
Banker. Di dalam kalkulus, bilangan e seringkali menunjukkan suatu cara penentuan gradien atau
kecondongan sebuah garis lurus. Gradien garis singgung kurva y = 2𝑥di titik (0, 1) mendekati
nilai 0,7 (lihat Gambar (i) berikut) dan gradien garis singgung kurva y = 3x di titik (0, 1)
mendekati nilai 1,1, (lihat Gambar (ii) berikut).

Gradien garis singgung kurva y = 𝑒𝑥di titik (0, 1) bernilai
1 (m = 1). Gambar grafik y = 𝑒𝑥dan gradien garis
singgung kurva y = 𝑒𝑥dapat dilihat pada Gambar di
samping.

CONTOH :

Lukiskan grafik dari masing-masing fungsi di bawah ini. Tentukan juga domain, range, intersep, dan
asimtotnya.
a. 𝑦 = 𝑒𝑥 − 1

b. 𝑦 = −𝑒𝑥 − 1

c. 𝑦 = −𝑒𝑥 − 1+ 1

Sumbu X tetap sebagai asimtot grafik
setelah
perpindahan. Penentuan intersep Y
dengan
mengambil x = 0, diperoleh:

Pembahasan:
a.Kita mulai dengan menggambar kurva 𝑦 = 𝑒𝑥. Geser grafik tersebut satu satuan ke kanan
sehingga diperoleh grafik 𝑦 = 𝑒𝑥 − 1, seperti terlihat pada gambar berikut.

b. Dengan melakukan pencerminan grafik kurva 𝑦 = 𝑒𝑥 − 1terhadap sumbu X,

diperoleh grafik kurva 𝑦 = −𝑒𝑥 − 1, seperti terlihat pada gambar di bawah ini.

c.Lakukan pergeseran grafik 𝑦 = −𝑒𝑥 − 1ke atas sejauh satu satuan, diperoleh grafik 𝑦 =
−𝑒𝑥 − 1+ 1 seperti terlihat pada gambar. Berdasarkan proses pergeseran, asimtot bergerak
dari y = 0 (sumbu X) menuju y = 1. Intersep Y berubah juga dari −

1
𝑒menuju −

1
𝑒+ 1 ≈

0,63. Terlihat bahwa grafik fungsi 𝑦 = −𝑒𝑥 − 1+ 1 mempunyai intersep X, yaitu dengan
mengambil x = 0, sehingga diperoleh:

Anda dapat menguji

pemahaman tentang Fungsi

Eksponensial dengan mengerjakan

soal LKS 1 (halaman 8), LKS 2

(halaman 15), LKS 3 (halaman 18),

dan LKS 4 (halaman 23).

Persamaan Eksponensial

1.2

Untuk menyelesaikan persamaan eksponensial berbentuk 𝑎𝑓(𝑥)= 𝑎𝑝dengan a > 0 dan
a ≠ 1, kita gunakan sifat berikut:

1.2.1 Persamaan Eksponensial Berbentuk 𝒂𝒇(𝒙)= 𝒂𝒑

CONTOH :

Tentukan himpunan penyelesaian setiap persamaan eksponensial
berikut.
a.

4𝑥= 8

b.

4𝑥+1= 0,25

c.

22𝑥−1= 32

1.2.2 Persamaan Eksponensial Berbentuk 𝒂𝒇(𝒙)= 𝒂𝒈(𝒙)

Persamaan eksponensial berbentuk 𝑎𝑓(𝑥)= 𝑎𝑔(𝑥)dengan a > 0 dan a ≠ 1 dapat diselesaikan
dengan menggunakan sifat berikut:

CONTOH:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 9𝑥−1=

1
3

4𝑥−1

.

1.2.3 Persamaan Eksponensial Berbentuk 𝒂𝒇(𝒙)= 𝒃𝒇(𝒙)

Untuk menyelesaikan persamaan eksponensial berbentuk 𝑎𝑓(𝑥)= 𝑏𝑓(𝑥), kita menggunakan sifat
berikut:

CONTOH :

Tentukan HP dari setiap persamaan eksponensial di bawah ini.

1.2.4 Persamaan Eksponensial Berbentuk 𝒂𝒇(𝒙)= 𝒃𝒈(𝒙)

Untuk menyelesaikan persamaan eksponensial 𝑎𝑓(𝑥)= 𝑏𝑔(𝑥)dapat dilakukan dengan cara berikut.
(i)

Ambil f(x) = 0 dan g(x) = 0 (karena 𝑎0= 𝑏0), kemudian tentukan nilai-nilai x yang memenuhi kedua
persamaan f(x) = 0 dan g(x) = 0. Jika cara ini tidak menghasilkan nilai x, dapat dilanjutkan ke cara (ii).

(ii)

Kedua ruas ditarik logaritma, yaitu:

𝑎𝑓(𝑥)= 𝑏𝑔(𝑥)

log 𝑎𝑓(𝑥)= log 𝑏𝑔(𝑥)

𝑓 𝑥 log𝑎 = 𝑔 𝑥 log 𝑏

Nilai-nilai x diperoleh dengan menggunakan sifat-sifat logaritma berikut ini.

CONTOH:

1.2.5 Persamaan Eksponensial Berbentuk 𝑯(𝒙)𝒇(𝒙)= 𝑯(𝒙)𝒈(𝒙)

Jika 𝐻(𝑥)𝑓(𝑥)= 𝐻(𝑥)𝑔(𝑥), maka ada beberapa kemungkinan antara lain:
a.eksponennya sama: f(x) = g(x),

b.bilangan pokok: H(x) = 1, sebab 1𝑓(𝑥)= 1𝑔(𝑥)= 1

c.bilangan pokok: H(x) = –1, asalkan −1𝑓(𝑥)= −1𝑔(𝑥)untuk x yang memenuhi,

d.bilangan pokok: H(x) = 0, asalkan f(x) dan g(x) keduanya bernilai positif.

CONTOH:

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:

1.2.6 Persamaan Eksponensial Berbentuk 𝒇(𝒙)𝒉(𝒙)= 𝒉(𝒙)𝒇(𝒙)

Untuk menyelesaikan persamaan eksponensial berbentuk 𝑓(𝑥)ℎ(𝑥)= ℎ(𝑥)𝑓(𝑥), kita gunakan cara
berikut ini:
(i)

h(x) = 0, dengan f(x) ≠ 0 dan g(x) ≠ 0,

(ii) bilangan pokok sama, yaitu f(x) = g(x).

CONTOH:

1.2.7 Persamaan Eksponensial Berbentuk 𝑨 𝒂𝒇 𝒙
𝟐 + 𝑩 𝒂𝒇(𝒙) + 𝑪 = 𝟎

Untuk menyelesaikan persamaan eksponensial berbentuk 𝐴 𝑎𝑓 𝑥
2 + 𝐵 𝑎𝑓(𝑥) + 𝐶 = 0, kita

gunakan pemisalan sehingga persamaan eksponen berubah bentuk menjadi persamaan kuadrat
dalam variabel y, yaitu: Ay2 + By + C = 0. Nilai-nilai y pada persamaan kuadrat itu dapat dicari
dengan cara faktorisasi atau cara formula ABC. Nilai y dikembalikan ke pemisalan semula
sehingga diperoleh persamaan af(x) = y. Lalu, diselesaikan sesuai persamaan yang terbentuk
sehingga akan diperoleh nilai-nilai x yang dicari.

Anda dapat menguji pemahaman
tentang Persamaan Eksponensial
dengan mengerjakan soal LKS 5

(halaman 28), LKS 6 (halaman 33),

dan LKS 7 (halaman 37)

Pertidaksamaan Eksponensial

1.3

Pertidaksamaan eksponensial merupakan bentuk lain dari persamaan eksponensial, yaitu
pertidaksamaan yang variabelnya ada di dalam suatu pangkat, tetapi tanda
penghubungnya merupakan tanda ketidaksamaan. Tanda ketidaksamaan yang sering
dipakai meliputi: >, <, ≥, atau ≤.

CONTOH:

Carilah semua nilai 𝑥 yang memenuhi:
a. 3𝑥< 1

b. 3𝑥≤ 9

Aplikasi Fungsi Eksponensial

1.4

Fungsi eksponensial dengan bilangan pokok (basis) e sering digunakan sebagai aplikasi dalam
memecahkan masalah nyata yang terkait pertumbuhan (exponential growth), peluruhan (decay
problems), masalah rangkaian listrik, dan masalah bunga majemuk.

CONTOH:

Kolera, penyakit yang menyerang usus, disebabkan oleh bakteri kolera yang berkembang biak secara
eskponensial dengan membelah selnya dan dinyatakan dengan:

𝑁 = 𝑁0 ∙ 𝑒1,386𝑡

dengan N adalah jumlah bakteri yang muncul setelah t jam dan N0 adalah jumlah bakteri pada permulaan (t = 0).
Jika di awal terdapat 25 bakteri, tentukan banyak bakteri (dalam satuan terdekat) yang
akan muncul dalam waktu:
a.0,6 jam

b.b. 3,5 jam

Anda dapat menguji pemahaman

tentang Pertidaksamaan Eksponensial

dan Aplikasi Fungsi Eksponensial

dengan mengerjakan soal
LKS 8 (halaman 42) dan

LKS 9 (halaman 49).