Eksponen

MEDIA MENGAJAR

UNTUK SMA/MA KELAS X

MATEMATIKA

EKSPONEN DAN LOGARITMA

BAB 1

Sumber gambar: Shutterstock.com

1.1 Bentuk Pangkat

Definisi Pangkat Bulat Positif:
Jika 𝑛 adalah sebuah bilangan bulat positif dan 𝑎 bilangan real maka 𝑎𝑛

didefinisikan sebagai perkalian 𝑛 faktor yang masing- masing faktornya ialah 𝑎.

𝑛 faktor

𝒂𝒏= 𝒂 × 𝒂 × 𝒂 × . . . × 𝒂

Contoh

Nyatakan dalam bentuk perkalian berulang.
a) 43

b) 1

2

3

c) −34

Jawab:
a)

43= 4 × 4 × 4

b)

1
2

3

=

1
2×

1
2×

1
2

c) −34= −3 × −3 × −3 × −3

Definisi Pangkat Nol:
a) Untuk setiap a bilangan real bukan nol, maka 𝑎0= 1.
b) Jika n bilangan bulat positif dan a bilangan bukan nol maka

𝑎−𝑛= 1

𝑎𝑛

Contoh

Nyatakan dengan pangkat nol atau negatif.
a) 50

b) −60

c)
1
3

0

d) 9−1

Jawab: (Berdasarkan definisi di atas)

a) 50= 1

b) −60= 1

c)

1
3

0

= 1

d) 9−1=

1
9

Sifat Bilangan Berpangkat Positif
1. 𝑎𝑛× 𝑎𝑚= 𝑎𝑛+𝑚

2. 𝑎𝑛∶ 𝑎𝑚= 𝑎𝑛−𝑚

3. 𝑎0= 1, untuk 𝑎 ≠ 0
4. 𝑎𝑛 𝑚= 𝑎𝑛𝑚

Contoh

1.Sederhanakan menjadi satu bilangan

berpangkat.
a)

24× 23

b)

2𝑎4𝑏 × 3𝑎5𝑏3

c)

𝑎6

𝑎2

d)

2𝑏3 5

Jawab:
a) 24× 23=2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
= 24+3= 27

b) 2𝑎4𝑏 × 3𝑎5𝑏3= 2 × 3 × 𝑎4× 𝑎5× 𝑏 × 𝑏3

= 6𝑎9𝑏4

c)

𝑎6

𝑎2 =

𝑎×𝑎×𝑎×𝑎×𝑎×𝑎

𝑎×𝑎
= 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 = 𝑎4

d) 2𝑏3 5= 21×5𝑏3×5= 32𝑏15

a)Sederhanakan bentuk 4

3
2

b) Sederhanakan dengan bilangan pokok 2.
Jawab:

a)

32 ⟺

32 =

32

1
2 = 25

1
2 = 2

5
2

b) 4

3
2 =

4

1
2

3

= 23= 8

1.2 Bentuk Akar

Sifat 5:

𝑎

1
𝑛 =𝑛𝑎 dan 𝑎

𝑚
𝑛 =

𝑛 𝑎𝑚

Kita ketahui bahwa 16

1
2

2

= 161dengan

menggunakan sifat 𝑎𝑛 𝑚= 𝑎𝑛𝑚. Tarik akar pada

kedua ruas, diperoleh 16

1
2 =

16, Hal ini sesuai dengan

sifat 5 di atas. Pangkat1

2berarti

dari suatu bilangan.

Contoh

𝑛 𝑎 mewakili suatu bilangan rasional jika dan hanya jika 𝑎 adalah perkalian
berulang sebanyak 𝑛 faktor dari suatu bilangan rasional lainnya.

i.

4 = 2 → 2 × 2 = 4

ii.

9 = 3 → 3 × 3 = 9

iii.

3 27 = 3 → 3 × 3 × 3 = 27

iv.

5 −32 = −2 → −2 × −2 × −2 × −2 × −2 = −32

v.

5,

3 8 → bilangan irasional, karen bilangan-bilangan tersebut tidak dapt

dinyatakan dalam bentuk𝑝

𝑞. Bilangan-bilangan irasional tersebut disebut

BENTUK AKAR
➢ Bentuk akar merupakan bilangan irasional sehingga tidak dapat dinyatakan

sebagai perbandingan dua bilangan bulat.

Pangkat Rasional

Untuk setiap bilangan real 𝑎 dan 𝑏, dan bilangan bulat 𝑚
dan 𝑛 sedemikian sehingga𝑛𝑎 dan

𝑛 𝑏 adalah real maka:

Sifat:

1.

𝑛 𝑎 𝑛 = ቊ 𝑎 , jika 𝑛 genap

𝑎, jika 𝑛 ganjil

2.

𝑛 𝑎 ∙

𝑛 𝑏 = 𝑛 𝑎𝑏

3.

𝑛 𝑎
𝑛 𝑏=

𝑛 𝑎

𝑏

4.

𝑚𝑛 𝑎 = 𝑚𝑛 𝑎

Sederhanakan.
a)

108 ⟺

108 =

36 ∙ 3 = 6 3

b)

3 54 ⟺

3 54 =

3 27 ∙ 2 = 3

3 2

c)

43⟺

43= 4

3
2 =

22

3
2 = 23= 8

Contoh

Dengan menggunakan sifat pangkat rasional,
sederhanakan
a) 3 5 + 4 5
Jawab:

3 5 + 4 5 = 3 + 4

5 = 7 5

Operasi Alajabar bentuk Akar

Jika a dan b bilangan-bilangan rasional positif, maka:
1.

𝑎 +

𝑏 =

𝑏 +

𝑎

2.

𝑥 𝑎 + 𝑦 𝑎 = 𝑥 + 𝑦

𝑎

3.

𝑎 ×

𝑏

2 =
𝑎 𝑏 ×

𝑎 𝑏 =

𝑎 ×

𝑎 ×

𝑏 ×

𝑏 = 𝑎𝑏

4.

𝑎 ×

𝑎 = 𝑎

5.

𝑎 ×

𝑏 =

𝑎𝑏

Contoh

b) 2 6 × 5 3
Jawab:
2 6 × 5 3 = 2 × 5 ×

6 ×

3 = 10 ×

18

= 10 ×

9 ∙ 2 = 10 × 3 2 = 30 2

Perhatikan rumus berikut.

𝑎 + 𝑏

𝑎 − 𝑏 = 𝑎2− 𝑏2

𝑎 + 𝑏2= 𝑎2+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2

Sederhanakanlah bentuk di bawah ini dengan menggunakan rumus di atas.

3 +

2

5 −

3

Jawab:

𝑎 + 𝑏

𝑐 + 𝑑 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑

3 +

2

5 −

3 =

3 ×

5 −

3 ×

3 +

2 ×

5 −

2 ×

3

=15 − 3 +

10 −

6

Contoh

Cara merasionalkan akar seperti berikut:
Misalkan 𝑎, 𝑏 adalah bilangan bulat dengan 𝑏 ≠ 0,
maka

Kalikan dengan akar

penyebutnya.

Contoh soal di bawah ini

diselesaikan dengan mengalikan

akar sekawannya.

Merasionalkan Penyebut Pecahan

𝑎
𝑏⟶ Suatu pecahan dengan penyebutnya yang merupakan bentuk akar, seringkali dapat

dinyatakan dengan mudah sebagai pendekatan desimal, apabila pecahan tersebut diubah
terlebih dahulu dengan suatu pecahan yang ekuivalen yang penyebutnya adalah rasional.

1 −

2

1 +

2

=1 −

2

1 +

2

×1 −

2

1 −

2

=1 − 2 2 + 2

1 − 2
= 2 2 − 3

𝑎

𝑏

=𝑎

𝑏

×
𝑏

𝑏

=𝑎 𝑏

𝑏

Bentuk 𝑎𝑓(𝑥)= 𝑎𝑐; 𝑐 konstanta dan 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 𝑓 𝑥 = 𝑐

Menentukan nilai 𝑥, jika 3𝑥= 27 maka

3𝑥= 27 ⟺ 3𝑥= 33

Jadi, 𝑥 = 3.

Tulis 27 sebagai bilangan pangkat

(bilangan pokok 3 )

Bentuk 𝑎𝑓(𝑥)= 𝑎𝑔(𝑥); 𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥)

Menentukan nilai 𝑥 yang memenuhi 23𝑥= 42𝑥−1adalah

23𝑥= 42𝑥−1⇔ 23𝑥= 22 2𝑥−1

3𝑥 = 4𝑥 − 2

Jadi, nilai 𝑥 yang memenuhi adalah 𝑥 = 2.

Persamaan Eksponen Sederhana

1.3 Fungsi Eksponen

Suatu fungsi 𝑓: 𝑥 → 𝑎𝑥yang memetakan setiap bilangan rasional 𝑥 ke 𝑎𝑥.

Definisi:
Fungsi eksponensial 𝑓 dengan bilangan pokok
𝑎 (𝑎 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛) adalah fungsi yang
didefinisikan dengan rumus:

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥, 𝑎 > 0, 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 1

Grafik Fungsi Eksponensial

Gambar grafik eksponensial

Jika kurva fungsi 𝑦 = 𝑎𝑥Digambar pada diagram Cartesisus, maka:

1.kurvanya akan monoton turun jika 0 < 𝑎 < 1,

2.Kurvanya monoton naik jika 𝑎 > 1.

3.Memotong sumbu Y di titik (0, 1), dan

4.sumbu 𝑋 sebagai asimtot.

Pertumbuhan dan Peluruhan

Contoh Kasus
Massa 𝑦 gram suatu radioaktif yang mengalami penyusutan

dalam 𝑡 tahun ditentukan oleh rumus 𝑦 = 10

1
2

𝑡
25.

a)

Berapakah massa 𝑦 mula-mula, apabila 𝑡 = 0?

b)

Berapakah massa 𝑦 setelah 80 tahun?

Grafik fungsi 𝒚 = 𝟏𝟎

𝟏

𝟐

𝒕
𝟐𝟓 pada gambar di bawah ini

a)Untuk 𝑡 = 0, maka massanya adalah

𝑦 = 10 1

2

0
25

𝑦 = 10 1 = 10 gram

b)Untuk t = 80, maka massanya adalah

𝑦 = 101

2

80
25

= 100 0,53,2≈ 1,088 gram

2log 16 ⇔ 2log 16 = 𝑥

2𝑥= 16
2𝑥= 24

Jadi, 𝑥 = 4.

3log 243 ⇔ 3log 243 = 𝑚

3𝑚= 243
3𝑚= 35

Jadi, nilai 𝑚 = 5.

1.4 Logaritma

Contoh

Definisi:
Untuk 𝑎 > 0 dan 𝑎 ≠ 1

𝑦 =𝑎log 𝑥 ⟺ 𝑎𝑦= 𝑥

Dalam notasi logaritma bilangan pokok disebut basis. Logaritma
dengan bilangan pokok 10 disebut logaritma basis 10.

Sederhanakanlah bentuk 2log 4 + 2log 8.
Jawab:
2log 4 + 2log 8 =

2log 4 ∙ 8

=2log 32
= 5 (Karena 25= 32)

Sifat-Sifat Logaritma

Jik 𝑥 dan 𝑦 bilangan real positif dan 𝑟 bilangan real, di mana 𝑎 > 0 dan a≠ 1, maka:
1.

𝑎log 𝑥𝑦 = 𝑎log 𝑥 + 𝑎log 𝑦 ⋯ (Sifat perkalian)

2.

𝑎log𝑥

𝑦= 𝑎log 𝑥 − 𝑎log 𝑦 ⋯ (Sifat pembagian)

3.

𝑎log 𝑥𝑟 = 𝑟 𝑎log 𝑥 ⋯ (Sifat perpangkatan)

4.

𝑎log 𝑎 = 1

5.

𝑎log 1 = 0

Contoh sifat 1

Sederhanakan bentuk5log 1.000 +5log 8.
Jawab:
5log 1.000 + 5log 8 = 5log1.000

8

= 5log 125 = 3

( Karena 53= 125 )

Sederhanakan bentuk 10log 287.
Jawab:

10log 287 = 7 ∙ 10log 28

Contoh sifat 2

Contoh sifat 3

Mengubah Bilangan Pokok Logaritma

Jika 𝑥 bilangan posistif dan 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1, maka

𝑎log 𝑥 =

𝑏log 𝑥
𝑏log 𝑎

Contoh

1. Hasil dari5log 7 adalah . . . .
Jawab:

2log 7 = log 7

log 2

=0,845

0,301= 2,807

2. Hasil dari7log 1.000 adalah . . . .
Jawab:

7log 1.000 =log 1.000

log 7

=
3

0,845= 3,550

Dari sifat di samping, diperoleh
sifat
•𝑎log 𝑥 =

ln 𝑥
ln 𝑎

•𝑎log 𝑏 ∙ 𝑏log 𝑥 = 𝑎log 𝑥

Multiple Choice

Hasil dari 2⁵ . 4² =

• 2⁶

• 2⁷

• 2⁸

• 2⁹